Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d.
Khi đó \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_d}} = \left( {A;B} \right)\).
\( \Rightarrow PTTS:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)
Gọi H là giao điểm của \(\Delta \) và d. Khi đó \(H\left( {{x_0} + At;{y_0} + Bt} \right)\)
Điểm H thuộc \(d\) nên
\(\begin{array}{l}A\left( {{x_0} + At} \right) + B\left( {{y_0} + Bt} \right) + C = 0\\ \Leftrightarrow A{x_0} + {A^2}t + B{y_0} + {B^2}t + C = 0\\ \Leftrightarrow \left( {A{x_0} + B{y_0} + C} \right) + \left( {{A^2} + {B^2}} \right)t = 0\\ \Leftrightarrow t = - \dfrac{{A{x_0} + B{y_0} + C}}{{{A^2} + {B^2}}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {At;Bt} \right)\\ \Rightarrow MH = \sqrt {{{\left( {At} \right)}^2} + {{\left( {Bt} \right)}^2}} = \sqrt {{A^2} + {B^2}} .\left| t \right|\\ = \sqrt {{A^2} + {B^2}} .\left| { - \dfrac{{A{x_0} + B{y_0} + C}}{{{A^2} + {B^2}}}} \right|\\ = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {M,d} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)
