a,Ta có: AF=AC (gt)
hay: AB+BF=AE+EC
mà AB=AE (gt)
=> BF=EC (đpcm)
b, ΔABD=ΔAED (c-g-c)
=> BD=DE( hai cạnh tương ứng)
\(\widehat{ABD}\)=\(\widehat{AED}\) ( hai góc tương ứng)
=> \(\widehat{FBD}\)= \(\widehat{CED}\) ( hai góc kề bù tương ứng)
Xét ΔFBD và ΔCED, ta có:
FB=EC ( chứng minh câu a)
\(\widehat{FBD}\)= \(\widehat{CED}\)
BD=DE
=> ΔFBD=ΔCED(c-g-c)
=> \(\widehat{BDF}\)= \(\widehat{EDC}\)
mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh
=> F,D,E thẳng hàng (đpcm)
c,d , Ta thấy AB= AE
=> ΔABE cân tại A
ΔABE cân tại A có Ad là đường phân giác
=> AD là đường cao
=> AD ⊥ BE (1)
Tương tự ta có Δ AFC cân tại A có AD là đường cao
=> AD ⊥ FC (đpcm câu d)(2)
Từ (1) và (2) suy ra : BE// FC ( cùng vuông góc với AD)
e,
Gọi giao điểm của BE và AD là I
Ta có \(\widehat{AIE}\) = 90 \(^{\circ}\)
hay \(\widehat{DEB}\) + \(\widehat{IDE}\) = 90 \(^{\circ}\)
Ta có \(\widehat{EDC}\) = \(\widehat{DBE}\) + \(\widehat{DEB}\)
=> \(\widehat{EDC}\) >\(\widehat{DEB}\)
=> \(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{DEB}\) > \(\widehat{DEB}\) + \(\widehat{IDE}\)
hay \(\widehat{ADC}\) > 90 \(^{\circ}\)
Suy ra \(\widehat{ADC}\) là góc tù
Bài 2:
Ta có : I là trung điểm của AM (1)
CN= 2 CI => I là trung điểm của CN (2)
Từ (1) và (2) => NACM là hình bình hành
=> AN//CM
Suy ra AN//BC (3)
b, Tương tự câu a ta chứng minh được AKMB là hình bình hành
=> AK//BC (4)
Từ (3) và (4) suy ra N,A,K thẳng hàng ( áp dụng tiên đề Ơ cờ lít) (*)
NACM là hình bình hành => NA =CM
AKMB là hình bình hành => AK =BM
MÀ CM=BM ( M là trung điểm BC)
=> NA =AK (**)
Từ (*) và (**) suy ra A là trung điểm NK ( đpcm)
