Lời giải:

Gọi giao điểm của $AM$ và $CN$ là $I$

Khi đó $BI$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$ theo tính chất ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm. Theo đó phương trình trung tuyến $BE$ cũng trùng với $BI$

Giao điểm $I$ có tọa độ là nghiệm của HPT:

\(\left\{\begin{matrix} 3x+2y-9=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+2y-9=0\\ x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3+2y-9=0\\ x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=3\\ x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy $I(1;3)$

Gọi pt đường thẳng $BI$ là $y=ax+b$

Ta có: \(B(-1;3); I(1;3)\in BI\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3=a+b\\ 3=-a+b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0\\ b=3\end{matrix}\right.\)

Vậy PT đường trung tuyến là: \(y=3\Leftrightarrow y-3=0\)

b)

Vì \(A\in AM\Rightarrow A(a, \frac{9-3a}{2})\)

Vì \(C\in CN\Rightarrow C(1; c)\)

$I(1;3)$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{x_A+x_B+x_C}{3}=x_I\\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}=y_I\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{a+(-1)+1}{3}=1\\ \frac{\frac{9-3a}{2}+3+c}{3}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ \frac{\frac{9-3a}{2}+3+c}{3}=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ \frac{c+3}{3}=3\end{matrix}\right.\Rightarrow a=3; c=6\)

Vậy tọa độ A là: \((3; 0)\), tọa độ C là \((1;6)\)