Fix : Cho a,b,c thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\).Cmr
\(1\le\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\le\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\dfrac{a^2}{a+abc}+\dfrac{b^2}{b+abc}+\dfrac{c^2}{c+abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3abc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{3}}=\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{3+ab+bc+ca}\)
Tức cần chứng minh \(\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{3+ab+bc+ca}\ge1\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c\right)\ge3+ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow9\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\right)^2\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=k\left(ab+bc+ca\right)\left(k\ge1\right)\) và ta cần cm:
\(9(k+2)k\geq(3k+1)^2\)\(\Leftrightarrow12k-1\ge9\) *đúng với \(k\ge 1\) :|*
Điểm M1 đối xứng với điểm M(3,5) qua điểm I(-4,1) có tọa độ là bao nhiêu
Bài 1
Hai hình chữ nhật 1 và 2 có tổng chu vi bằng 154cm. ở hinh 1 nếu chiều dai bớt đi 4cm và chiều rộng thêm 1cm thì được hình 2. Tính chu vi mỗi hình đó
Bài 2
Cho 3 số có trung bình cộng bằng 21,Tìm 3 số đó,biết rằng số thứ 3 gấp 3 lần số thứ 2, số thứ 2 gấp 2 lần số thứ nhất
Bài 3
Trung bình cộng của 2 số là 14. Biết rằng một phần ba số này thì bằng một phần tư số kia. Tìm mỗi số
Cho a, b, c >0 t/m: \(a^2\left(\dfrac{a}{c}+1\right)+b^2\left(\dfrac{b}{c}+1\right)=3\)
Tìm \(Min\) \(H=\dfrac{a+c}{b^3+2}+\dfrac{b+c}{a^3+2}-2\sqrt{a+b+c}\)
Ace Legona, Phương An, Neet,-.
Cho tam giác ABC có đỉnh B(-1;3), trung tuyến AM có phương trình 3x+2y-9=0: trung tuyến CN: x-1=0
a) Viết pt tổng quát đường trung tuyến BE
b) Tìm tọa độ các đỉnh AC
(3n+4)÷(n-3) (tìm n thuộc z nhé)
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
$\frac{a}{(𝑎^3+𝑏^2+𝑐)}+\frac{b}{(𝑏^3+𝑐^2+𝑎)}+\frac{c}{(𝑐^3+𝑏^2+𝑎)}\leq 1$
cho hbh ABCD tâm O . gọi I là trung điểm CD . có bao nhiêu điểm M thỏa mãn vecto MA+MB+MC=2MI??
Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 2 thì y = 4
a, Tìm hệ số tỉ lệ a;
b, Hãy biểu diễn x theo y
c, Tính giá trị của x khi y =-1;y=2
Xác định hàm số bậc 2 y= ax2 + 3x + c , biết rằng đồ thị của hàm số có hoành độ đỉnh bằng -1 và đi qua điểm a(1;\(\dfrac{11}{2}\))
tìm m để phương trình
\(\sqrt{2x^2-6x+m}=x-1\) có 2 nghiệm phân biệt
Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến