Lời giải:
Bài toán tương đương với tìm $m$ để \(\sqrt{-x^2+2x-m}=x+2\) có hai nghiệm pb
Ta có:
\(\sqrt{-x^2+2x-m}=x+2\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -2\\ -x^2+2x-m=x^2+4x+4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -2\\ 2x^2+2x+4+m=0(*)\end{matrix}\right.\)
Để thỏa mãn đkđb thì $(*)$ phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\geq -2\)
ĐK để có 2 nghiệm pb: \(\Delta'=1-2(4+m)>0\Leftrightarrow m< \frac{-7}{2}\)
Áp dụng đl Viete: \( \left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-1\\ x_1x_2=\frac{4+m}{2}\end{matrix}\right.\)
Để \(x_1,x_2\geq -2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2\geq-4\\ (x_1+2)(x_2+2)\geq0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1\geq -4\\ x_1x_2+2(x_1+x_2)+4\geq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -1\geq -4\\ \frac{4+m}{2}-2+4\geq 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m\geq -8\)
Vậy \(-8\leq m< \frac{-7}{2}\)
