Lời giải:

Ta có:

\(A=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\)

\(=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)

\(=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(c+a)-2abc\)

\(=b(a+b+c)(a+c)+ac(a+c)-2abc\)

\(=(a+c)(b^2+ab+bc+ac)-2abc=(a+c)(b+a)(b+c)-2abc\)

Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left[\frac{3}{2}\right]+1=2\) số có cùng tính chẵn lẻ

Giả sử hai số đó là \(a,b\) suy ra \(a+b\vdots 2\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\vdots 2\)

\(\Rightarrow A=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 2\)

Muốn $A$ là số nguyên tố thì $A=2$

\(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)-2abc=2\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(2=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\geq 2\sqrt{ab}2\sqrt{bc}2\sqrt{ac}-2abc\)

\(\Leftrightarrow 2\geq 8abc-2abc=6abc\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\geq abc\)

Nếu \(a,b,c\geq 1\) thì điều này không thể xảy ra. Do đó phải tồn tại ít nhất một số bằng 0

Không mất tính tổng quát giả sử \(a=0\Rightarrow bc(b+c)=2\)

Từ đây ta dễ dàng tìm được \(b=c=1\) với \(b,c\in\mathbb{N}\)

Vậy \((a,b,c)=(0;1;1)\) và các hoán vị tương ứng.