Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(J\) thay đổi thuộc \(\left( C \right)\) như hình vẽ bên. Hình chữ nhật \(ITJV\)có chu vi nhỏ nhất bằng: A.\(2\sqrt 2 .\) B.\(6.\) C.\(4\sqrt 2 .\) D.\(4.\)
Phương pháp giải: - Gọi \(J\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 1}}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số \(\left( {a > 1} \right)\). - Suy ra tọa độ các điểm \(I,\,\,T,\,\,V\). - Tính độ dài \(IV,\,\,IT\). - Áp dụng công thức tính chu vi hình chữ nhật \(ITJV\): \(C = 2\left( {IV + IT} \right)\). - Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số \(a,\,\,b\) không âm: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \). Giải chi tiết:Gọi \(J\left( {a;\dfrac{{2a}}{{a - 1}}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số. ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\\dfrac{{2a}}{{a - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 1\). Khi đó ta có: \(I\left( {1;2} \right);\,\,V\left( {a;2} \right);\,\,\,T\left( {1;\dfrac{{2a}}{{a - 1}}} \right)\). \( \Rightarrow IV = a - 1,\,\,IT = \dfrac{{2a}}{{a - 1}} - 2 = \dfrac{2}{{a - 1}}\). Khi đó chu vi hình chữ nhật \(ITJV\) là: \(C = 2\left( {IV + IT} \right) = 2\left( {a - 1 + \dfrac{2}{{a - 1}}} \right)\). Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(a - 1\) và \(\dfrac{2}{{a - 1}}\) ta có: \(a - 1 + \dfrac{2}{{a - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {a - 1} \right).\dfrac{2}{{a - 1}}} = 2\sqrt 2 \). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - 1 = \dfrac{2}{{a - 1}} \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\\a = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\). Vậy hình chữ nhật \(ITJV\) có chu vi nhỏ nhất \({C_{\min }} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow a = 1 + \sqrt 2 \). Chọn C.