Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M,\) đường cao \(MI\) và \(NK\) cắt nhau tại \(O.\) Đường tròn \(\left( {O;\,OK} \right)\) cắt \(MI\) tại \(G\) và \(E\) (tham khảo hình vẽ bên). Biết \(MN = MP = \sqrt 3 \) và \(MG = EI.\) Tính \(OK.\)A.\(OK = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\)B.\(OK = \dfra

van2000siusiu

2 năm trước

Cho tam giác \(MNP\) cân tại \(M,\) đường cao \(MI\) và \(NK\) cắt nhau tại \(O.\) Đường tròn \(\left( {O;\,OK} \right)\) cắt \(MI\) tại \(G\) và \(E\) (tham khảo hình vẽ bên). Biết \(MN = MP = \sqrt 3 \) và \(MG = EI.\) Tính \(OK.\)
A.\(OK = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}.\)
B.\(OK = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}.\)
C.\(OK = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}.\)
D.\(OK = \sqrt 6 .\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

dangdung2301

Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:
- Đặt \(NP = 2x\) (ĐK: \(x > 0\)). Tính \(MI\) theo \(x\).
- Chứng minh \(O\) là trung điểm của \(MI\), tính \(OM,\,\,OI\) theo \(x\). Từ đó tính \(ON\) theo \(x\).
- Chứng minh \(\Delta ONI\) và \(\Delta PNK\) đồng dạng, từ đó tính \(NK\) theo \(x\).
- Chứng minh \(MI.NP = NK.MP\), giải phương trình tìm \(x\).
- Tính \(OK = NK - ON\).
Giải chi tiết:Đặt \(NP = 2x\) (ĐK: \(x > 0\)).
Vì \(\Delta MNP\) cân tại \(M\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(I\) là trung điểm của \(NP\) (đường cao đồng thời là đường trung tuyến).
\( \Rightarrow NI = IP = x\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(MIP\) ta có: \(M{I^2} = M{P^2} - I{P^2} = 3 - {x^2}\) \( \Rightarrow MI = \sqrt {3 - {x^2}} \).
Ta có: \(MG = EI\,\,\left( {gt} \right),\,\,OG = OE\) (= bán kính của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow OM = OI\).
\( \Rightarrow OM = OI = \dfrac{1}{2}MI = \dfrac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OIN\) có:
\(\begin{array}{l}O{N^2} = N{I^2} + O{I^2}\\O{N^2} = {x^2} + \dfrac{{3 - {x^2}}}{4} = \dfrac{{3{x^2} + 3}}{4}\\ \Rightarrow ON = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt {{x^2} + 1} \end{array}\)
Xét \(\Delta ONI\) và \(\Delta PNK\) có \(\angle KNP\) chung; \(\angle OIN = \angle PKN = {90^0}\).
\( \Rightarrow \Delta ONI \sim \Delta PNK\,\,\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{ON}}{{PN}} = \dfrac{{NI}}{{NK}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2.2x}} = \dfrac{x}{{NK}}\\ \Rightarrow NK = \dfrac{{4{x^2}}}{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}\end{array}\)
Ta có: \({S_{\Delta MNP}} = \dfrac{1}{2}MI.NP = \dfrac{1}{2}NK.MP\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MI.NP = NK.MP\\ \Rightarrow \sqrt {3 - {x^2}} .2x = \dfrac{{4{x^2}}}{{\sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + 1} }}.\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt {3 - {x^2}} .\sqrt {{x^2} + 1} = 2x\\ \Leftrightarrow \left( {3 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow - {x^4} + 2{x^2} + 3 = 4{x^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} + 3{x^2} - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{x^2} = 3\,\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}\)
Với \(x = 1\) ta có \(NK = \dfrac{4}{{\sqrt 3 .\sqrt 2 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\), \(ON = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \(OK = NK - ON = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Giá tị của biểu thức \(A = 3\sqrt {80} - 2\sqrt {20} \) bằng
A.\(2\sqrt 5 .\)
B.\(8\sqrt 5 .\)
C.\(\sqrt {60} .\)
D.\(16\sqrt 5 .\)

Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 1} \right)x + 4m\) là
A.\(2\sqrt 2 .\)
B.\(8\sqrt 2 .\)
C.\(4\sqrt 2 \).
D.\(4.\)

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A = \dfrac{{4\sqrt x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0\)) nhận giá trị nguyên?
A.\(6.\)
B.\(4.\)
C.\(8.\)
D.\(3.\)

Một người mua hai thùng hàng \(A\) và \(B\). Nếu thùng hàng \(A\) tăng giá \(20\% \) và thùng hàng \(B\) tăng \(30\% \) thì người đó phải trả \(302\) nghìn đồng. Nếu thùng hàng \(A\) giảm giá \(10\% \) và thùng hàng \(B\) giảm giá \(20\% \) thì người đó phải trả \(202\) nghìn đồng. Giá tiền thùng hàng \(A\) và thùng hàng \(B\) lúc đầu lần lượt là
A.\(20\) nghìn đồng, \(230\) nghìn đồng.
B.\(100\) nghìn đồng, \(140\) nghìn đồng.
C.\(140\) nghìn đồng, \(100\) nghìn đồng.
D.\(230\) nghìn đồng, \(20\) nghìn đồng.

Trong phong trào dân chủ 1936-1939, để thu thập “dân nguyện” tiến tới Đông Dương Đại hội, trên khắp đất nước Việt Nam đã thành lập
A.các Công hội đó.
B.các hội cứu quốc.
C.các ủy ban hành động.
D.các hội phản đế.

Tôn chỉ của Hội Liên hiệp các dân tộc bị áp bức ở Á Đông (9-7-1925) là
A.tập hợp tất cả những người dân thuộc địa sống trên đất Pháp chống chủ nghĩa thực dân.
B.tổ chức và lãnh đạo quần chúng đoàn kết đấu tranh đánh đổ đế quốc Pháp và tay sai.
C.cổ động bãi công, đánh đuổi giặc Pháp, đánh đổ ngôi vua, thiết lập dân quyền.
D.liên lạc với các dân tộc bị áp bức để cùng làm cách mạng, đánh đổ đế quốc.

Cho đường tròn \(\left( {O;\,10cm} \right)\), dây \(CD\) cách tâm \(O\) một khoảng bằng \(8cm\). Khi đó độ dài đáy \(CD\) là
A.\(6cm.\)
B.\(2\sqrt {41} cm.\)
C.\(12cm.\)
D.\(2\sqrt {21} cm.\)

Gọi \(S\) là tập các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(y = mx + 3\) cắt trục \(Ox\) và trục \(Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(AOB\) cân. Tính tổng các phần tử của \(S.\)
A.\(1.\)
B.\(3.\)
C.\( - 1.\)
D.\(0.\)

Trong hình vẽ bên, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) cạnh \(AB = 5cm,\) đường cao \(AH = 3cm.\) Độ dài cạnh \(BC\)bằng
A.\(\dfrac{4}{{15}}\,cm.\)
B.\(4cm.\)
C.\(\dfrac{{25}}{4}cm.\)
D.\(\dfrac{{25}}{{16}}cm.\)

Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m - 1\) cắt parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}\) tại 2 điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(\Delta AOB\) vuông tại \(O\) (với \(O\) là gốc tọa độ).
A.\(m = 3.\)
B.\(m = 1;m = 3.\)
C.\(m = - 1;m = - 3.\)
D.\(m = 1\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến