Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'\). Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V\).

218824602921324

2 năm trước

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\) và \(I\) là tâm hình vuông \(CDD'C'\). Mặt phẳng \(\left( {AMI} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm \(D\) có thể tích là \(V\). Khi đó giá trị của \(V\) là:
A.\(V = \dfrac{7}{{36}}{a^3}\)
B.\(V = \dfrac{{22}}{{29}}{a^3}\)
C.\(V = \dfrac{7}{{29}}{a^3}\)
D.\(V = \dfrac{{29}}{{36}}{a^3}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 70 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

khanhvanpnt456

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Xác định thiết diện của khối lập phương cắt bởi \(\left( {AMI} \right)\).
- Chứng minh \(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{CDAMNP}} = {a^3} - {V_1}\).
- Phân chia khối đa diện: \({V_1} = {V_{D.APE}} - {V_{C.MNE}}\).
- Sử dụng định lí Ta-lét, định lí Menelaus tính độ dài các cạnh, từ đó tính thể tích các khối tứ diên vuông \({V_{D.APE}};\,\,{V_{C.MNE}}\).
Giải chi tiết:
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(AM \cap CD = \left\{ E \right\}\). Trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) kéo dài \(EI\) cắt \(CC',\,\,DD'\) lần lượt tại \(N,\,\,P\). Khi đó \(\left( {AMI} \right)\) cắt khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) theo thiết diện là tứ giác \(AMNP\) và thể tích khối đa diện không chứa điểm \(D\) là \(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{CDAMNP}} = {a^3} - {V_1}\).
Ta có \({V_1} = {V_{D.APE}} - {V_{C.MNE}}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{MC}}{{AD}} = \dfrac{{EM}}{{EA}} = \dfrac{{EC}}{{ED}} = \dfrac{1}{2}\) nên \(M,\,\,C\) lần lượt là trung điểm của \(AE\) và \(DE\).
Khi đó ta có \(CE = CD = a,\,\,DE = 2CD = 2a\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(DD'E\) có: \(\dfrac{{PD}}{{PD'}}.\dfrac{{ID'}}{{IC}}.\dfrac{{EC}}{{ED}} = 1\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{PD}}{{PD'}}.1.\dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{PD}}{{PD'}} = 2\).
\( \Rightarrow PD = \dfrac{2}{3}DD' = \dfrac{{2a}}{3}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{NC}}{{PD}} = \dfrac{{EC}}{{ED}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow NC = \dfrac{1}{2}PD = \dfrac{a}{3}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{D.APE}} = \dfrac{1}{6}DP.DA.DE = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{2a}}{3}.a.2a = \dfrac{{2{a^3}}}{9}\\\,\,\,\,\,\,{V_{C.MNE}} = \dfrac{1}{6}.CN.CM.CE = \dfrac{1}{6}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{{a^3}}}{{36}}\end{array}\)
\( \Rightarrow {V_1} = {V_{D.APE}} - {V_{C.MNE}} = \dfrac{{2{a^3}}}{9} - \dfrac{{{a^3}}}{{36}} = \dfrac{{7{a^3}}}{{36}}\).
Vậy \(V = {a^3} - {V_1} = {a^3} - \dfrac{{7{a^3}}}{{36}} = \dfrac{{29{a^3}}}{{36}}\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + 9x + 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
A.\(6\)
B.\(7\)
C.\(5\)
D.\(8\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{2f\left( x \right) - 3}}\) là:
A.\(2\)
B.\(4\)
C.\(5\)
D.\(3\)

Biết rằng \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({3^{2y}}\left( {{3^x} + {3^{4y}}} \right) = 81\left( {{3^{ - x}} + {3^{ - 4y}}} \right)\). Giá trị của \(x + 6y\) bằng:
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(4\)
D.\(3\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(7.f\left( {5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} } \right) = 3m - 10\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) là:
A.\(10\)
B.\(4\)
C.\(6\)
D.\(5\)

Bằng cách quan sát và lắng nghe dây đàn dao động khi ta gảy đàn, ta có thể kết luận nào sau đây?
A.Dây đàn càng căng, thì dây đàn dao động càng nhanh, âm phát ra có tần số càng lớn.
B.Dây đàn càng căng, thì dây đàn dao động càng chậm, âm phát ra có tần số càng nhỏ.
C.Dây đàn càng căng, thì dây đàn dao động càng mạnh, âm phát ra nghe càng to.
D.Dây đàn càng căng, thì dây đàn dao động càng yếu, âm phát ra nghe càng nhỏ.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\). Trong các điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1; - 1} \right)\) có bao nhiêu điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\)?
A.\(1\)
B.\(0\)
C.\(3\)
D.\(2\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - z + 3 = 0\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 4t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\). Trong các mênh đề sau mệnh đề nào đúng?
A.\(d\) nằm trên \(\left( P \right)\)
B.\(d\) vuông góc với \(\left( P \right)\)
C.\(d\) cắt \(\left( P \right)\)
D.\(d\) song song với \(\left( P \right)\)

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| \le 1\):
A.Hình tròn tâm \(I\left( {0;\,\,1} \right),\) bán kính \(R = 2.\)
B.Hình tròn tâm \(I\left( {0;\, - 1} \right),\) bán kính \(R = 1.\)
C.Hình tròn tâm \(I\left( {1;\,\,0} \right),\) bán kính \(R = 1.\)
D.Hình tròn tâm \(I\left( {0;\,\,1} \right),\) bán kính \(R = 1.\)

Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn \(\left[ { - 4;3} \right]\). Giá trị \(M - m\) bằng:
A.\(8\)
B.\(33\)
C.\(25\)
D.\(32\)

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) \(M\) là trung điểm của \(AA'.\) Biết thể tích khối chóp \(M.BB'C'C\) bằng \(V.\) Khi đó thể tích khối lăng trụ bằng
A.\(3V\)
B.\(2V\)
C.\(\dfrac{3}{2}V\)
D.\(\dfrac{4}{3}V\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến