Cho hai số thực bất kì \(a > 1,\,\,b > 1\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\). Trong trường hợp biểu thức \(S = {\left( {\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 6{x_1} - 6{x

Lanhly123

2 năm trước

Cho hai số thực bất kì \(a > 1,\,\,b > 1\). Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\). Trong trường hợp biểu thức \(S = {\left( {\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 6{x_1} - 6{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.\(a = {b^{\sqrt[3]{3}}}\)
B.\(a = {b^{\sqrt[3]{6}}}\)
C.\(a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}}}\)
D.\(a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{6}}}}}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nda2222000

Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:
- Lấy logarit cơ số b hai vế của phương trình \({a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x.
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn x có 2 nghiệm phân biệt.
- Áp dụng định lí Vi-ét: \({x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\), \({x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\).
- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _b}a\), chứng minh \(t > 0\).
- Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số a, b, c không âm: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).
Giải chi tiết:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^x}{b^{{x^2} - 1}} = 1\\ \Leftrightarrow {\log _b}\left( {{a^x}{b^{{x^2} - 1}}} \right) = {\log _b}1\\ \Leftrightarrow {\log _b}{a^x} + {\log _b}{b^{{x^2} - 1}} = 0\\ \Leftrightarrow x{\log _b}a + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {{{\log }_b}a} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.
\( \Rightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_b}a} \right)^2} + 4 > 0\) (luôn đúng).
Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - {\log _b}a\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}S = {\left( {\dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}} \right)^2} - 6{x_1} - 6{x_2}\\S = {\left( {\dfrac{{ - 1}}{{ - {{\log }_b}a}}} \right)^2} - 6\left( { - {{\log }_b}a} \right)\\S = \dfrac{1}{{\log _b^2a}} + 6{\log _b}a\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _b}a\), với \(a > 1,\,\,b > 1\) thì \({\log _b}a > {\log _b}1 = 0 \Rightarrow t > 0\), khi đó
\(S = \dfrac{1}{{{t^2}}} + 6t = \dfrac{1}{{{t^2}}} + 3t + 3t \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{t^2}}}.3t.3t}} = \sqrt[3]{9}\).
\( \Rightarrow {S_{\min }} = \sqrt[3]{9}\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{t^2}}} = 3t \Leftrightarrow {t^3} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}\).
\( \Leftrightarrow {\log _b}a = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}} \Leftrightarrow a = {b^{\sqrt[3]{{\dfrac{1}{3}}}}}.\)
Chọn C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp S.ABC có SA = a, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đế mặt phẳng (SAC) bằng:
A.\(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{7}\)
B.\(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\)
C.\(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{12}}\)
D.\(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{6}\)

Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt mà hai giao điểm đó có hoành độ và tung độ là các số nguyên?
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(6\)
D.\(12\)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, tam giác SAB và tam giác SCB lần lượt vuông tại A và C. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng a. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCB) bằng:
A.\(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
B.\(\dfrac{1}{3}\)
C.\(\dfrac{2}{3}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\)

Chất nào sau đây thuộc loại polime thiên nhiên?
A.Chất béo.
B.Amino axit.
C.Tinh bột.
D.Saccarozo.

Cho hàm số \(y = {e^{2x}} - x\). Chọn khẳng định đúng.
A.Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \ln \sqrt 2 ; + \infty } \right)\)
B.Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \ln 2} \right)\)
C.Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \ln \sqrt 2 } \right)\)
D.Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \ln 2; + \infty } \right)\)

Cho hai hàm số \(y = \ln \left| {\dfrac{{x - 2}}{x}} \right|\) và \(y = \dfrac{3}{{x - 2}} - \dfrac{1}{x} + 4m - 2020\). Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng:
A.\(506\)
B.\(1011\)
C.\(2020\)
D.\(1010\)

Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đôi một tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chi tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng \(\dfrac{4}{3}\) lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là \(\dfrac{{337\pi }}{{24}}\) (lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.\(\left( {150;151} \right)\)
B.\(\left( {151;152} \right)\)
C.\(\left( {139;140} \right)\)
D.\(\left( {138;139} \right)\)

Chất nào sau đây không có phản ứng tráng gương?
A.Axit fomic.
B.Fructozơ.
C.Etanal.
D.Axit axetic.

Etyl axetat là tên gọi của chất nào sau đây?
A.HCOOCH3.
B.CH3COOC2H5.
C.CH3COOC2H3.
D.CH3COOCH3.

Chất X được dùng làm bột nở trong công nghiệp thực phẩm, trong y tế, dùng làm thuốc giảm đau dạ dày do thừa axit. Chất X là
A.CaCl2.
B.NaCl.
C.NaHCO3.
D.CaCO3.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến