Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) hoặc thương \(T = \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) để xem dãy số tăng hay giảm.
- Chứng minh \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), khi đó dãy số bị chặn trên bởi M và bị chặn dưới bởi m.
Giải chi tiết:Xét đáp án D ta có: \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{n + 2}}{{n + 2020}}\).
Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\) ta có:
\(\begin{array}{l}H = {u_{n + 1}} - {u_n}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{n + 2}}{{n + 2020}} - \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 2019} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2020} \right)}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{n^2} + 2021n + 4038 - {n^2} - 2021n - 2020}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2018}}{{\left( {n + 2019} \right)\left( {n + 2020} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Do đó dãy số \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số tăng.
Ta có: \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}} = 1 - \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} < 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), do đó dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1.
Lại có:
\(\begin{array}{l}n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2019 \ge 2020\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} \le \dfrac{{2018}}{{2020}} = \dfrac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow - \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} \ge - \dfrac{{1009}}{{1010}}\\ \Rightarrow {u_n} = 1 - \dfrac{{2018}}{{n + 2019}} \ge \dfrac{1}{{1010}}\end{array}\)
Do đó dãy số bị chặn dưới bởi \(\dfrac{1}{{1010}}\).
Vậy dãy số \({u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{n + 2019}}\) là dãy số bị chặn.
Chọn D.
