Biết tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c}} \)\(;a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a + b + c\) bằngA.\(

akc65140

2 năm trước

Biết tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c}} \)\(;a,\,\,b,\,\,c\) là các số nguyên. Giá trị \(a + b + c\) bằng
A.\( - 1.\)
B.\(12.\)
C.\(7.\)
D.\(5.\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 14 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

vodanh978

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Biến đổi lượng giác: \(\dfrac{1}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\).
- Tách thành 2 tích phân, sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan x + C\) và phương pháp đổi biến.
- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng \(a + b + c\).
Giải chi tiết:Ta có \(\dfrac{1}{{1 + \sin x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{1 - \sin x}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\).
Khi đó:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow I = \left. {\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{6}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \\ \Leftrightarrow I = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - {I_1}\end{array}\)
Đặt \(t = \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\).
Khi đó \({I_1} = - \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\dfrac{{dt}}{{{t^2}}}} = \left. {\dfrac{1}{t}} \right|_1^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} - 1 = \dfrac{{2\sqrt 3 - 3}}{3}\).
Vậy \(I = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{{2\sqrt 3 - 3}}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 3}}{3} = \dfrac{{ - \sqrt 3 + 3}}{3}\)
Mà \(I = \dfrac{{a\sqrt 3 + b}}{c} \Rightarrow a = - 1;\,\,b = 3;\,\,c = 3.\)
Vậy \(a + b + c = - 1 + 3 + 3 = 5.\)
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người ta nhìn thấy một chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 2t + 20\), trong đó t là thời gian (tính bằng giấy) kể từ lúc đạp phanh. Quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối cùng bằng
A.\(125\,m.\)
B.\(75\,m.\)
C.\(200\,m.\)
D.\(100\,m.\)

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 3}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z - 6 = 0\). Đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
A.\(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{7} = \dfrac{{z - 5}}{3}.\)
B.\(\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{7} = \dfrac{{z + 1}}{3}.\)
C.\(\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y + 4}}{7} = \dfrac{{z - 1}}{3}.\)
D.

Một hình tròn có diện tích \(3,14d{m^2}\) thì bán kính của hình tròn là:
A.\(1\,dm\)
B.\(0,5dm\)
C.\(0,1dm\)
D.\(1,57dm\)

Chỉ ra phong cách ngôn ngữ được sử dụng trong văn bản.
A.
B.
C.
D.

Theo anh/chị, quan điểm: “Trẻ em càng được nhận nhiều thì sự biết ơn càng giảm sút”có đúng không? Vì sao?
A.
B.
C.
D.

Chỉ ra phong cách ngôn ngữ được sử dụng trong văn bản.
A.
B.
C.
D.

Cho 18,5 gam hỗn hợp X gồm Fe, Fe3O4 tác dụng với 200 ml dung dịch HNO3 loãng đun nóng và khuấy đều. Sau khi phản ứng xảy ra hoàn toàn được 2,24 lít khí NO duy nhất (đktc), dung dịch Y và còn lại 1,46 gam kim loại. Nồng độ mol của dung dịch HNO3 đã dùng là
A.3,20 M.
B.4,55 M.
C.4,05 M.
D.3,40 M.

Cho đa thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 2017;\,\,f\left( 1 \right) = 2018;\,\,\,f\left( { - 1} \right) = 2019.\) Tính \(f\left( 2 \right)\).
A.\(F\left( 2 \right) = 2019.\)
B.\(F\left( 2 \right) = 2020.\)
C.\(F\left( 2 \right) = 2021.\)
D.\(F\left( 2 \right) = 2022.\)

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2x + \sin x\) là:
A.\({x^2} + \cos x + C\)
B.\({x^2} - \cos x + C\)
C.\(2{x^2} + \cos x + C\)
D.\(2{x^2} - \cos x + C\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 0\), \(F\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2020}}\) là một nguyên hàm của \(2020x.{e^x}\). Họ các nguyên hàm của \({f^{2020}}\left( x \right)\) là:
A.\(2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C\)
B.\(x{e^x} + C\)
C.\(2020\left( {x + 2} \right){e^x} + C\)
D.\(\left( {x - 2} \right){e^x} + C\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến