Lập phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right):y = {x^3}\) song song với đường thẳng \(y = 12x + 16\). A.\(y = 12x \pm 4\). B.\(y = 12x \pm 16\). C.\(y = 12x + 16\) D.\(y = 12x - 16\)
Phương pháp giải: - Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b e b'\end{array} \right.\). - Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\). - Giải phương trình \(f'\left( {{x_0}} \right) = 12\) tìm nghiệm \({x_0}\). - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\). Giải chi tiết:TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2}\). Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2\). Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng \(y = 12x + 16\) nên ta có phương trình: \(k = 12 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 12 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 2\). Với \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 8\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = 12\left( {x - 2} \right) + 8\) \( \Leftrightarrow y = 12x - 16\) (tm). Với \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = - 8\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = 12\left( {x + 2} \right) - 8\) \( \Leftrightarrow y = 12x + 16\) (ktm do trùng với đường thẳng \(y = 12x + 16\)). Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(y = 12x - 16\). Chọn D.