Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằ

memetea1105

2 năm trước

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng:
A.\(145\)
B.\(108\)
C.\(105\)
D.\(135\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 13 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

snoopy1412

Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:
- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), xác định tọa độ điểm \(I\).
- Chứng minh \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất, từ đó tính GTNN của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\).
Giải chi tiết:Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {2 - x; - 2 - y;4 - z} \right)\\\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IB} = \left( { - 3 - x;3 - y; - 1 - z} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \left( { - 5 - 5x;5 - 5y;5 - 5z} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - 5x = 0\\5 - 5y = 0\\5 - 5z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1;1} \right)\end{array}\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2M{A^2} + 3M{B^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2I{A^2} + 3M{I^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 3I{B^2}\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = {3^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^2} = 27\\I{B^2} = {\left( { - 2} \right)^2} + {2^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 12\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2I{A^2} + 3I{B^2} = 90\) không đổi nên \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 5M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất.
Mà \(M \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow M{I_{\min }} = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\)\( = \frac{{\left| {2\left( { - 1} \right) - 1 + 2.1 - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{3} = 3\).
Vậy \({\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} = {5.3^2} + 90 = 135\).
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 2AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABCD} \right)\). Biết diện tích tam giác \(SAB\) bằng \(1\) và khoảng cách từ \(B\) tới mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) bằng \(\sqrt 2 \). Tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD\).
A.\(72\)
B.\(16\)
C.\(8\)
D.\(32\)

Cho phương trình \({\log _2}\left( {m{{.4}^{{x^2} - 2x}} + 9} \right) = {x^2} - 2x + 3 + {\log _2}3\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt.
A.\(12\)
B.\(11\)
C.\(4\)
D.\(13\)

Mối quan hệ giữa Cộng hòa Liên bang Đức và Cộng hòa Dân chủ Đức được cải thiện thông qua sự kiện
A.Kí kết Định ước Henxinki năm 1975.
B.Kí kết Hiệp ước về hạn chế hệ thống phòng chống tên lửa 1972.
C.Kí kết Hiệp định về những cơ sở của quan hệ giữa Đông Đức và Tây Đức năm 1972.
D.Kí kết Hiệp ước hạn chế vũ khí tiến công chiến lược năm 1972.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm. Giả sử phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 4 nghiệm phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{4}\).
A.\(7\)
B.\(\dfrac{7}{2}\)
C.\(8\)
D.\(10\)

Cho \(a,\,\,b,\,\,x\) là ba số thực dương. Biết \({\log _3}x = 2{\log _{\sqrt 3 }}a + {\log _{\frac{1}{3}}}b\), tính \(x\) theo \(a,\,\,b\).
A.\(x = {a^4} - b\)
B.\(x = \frac{{{a^4}}}{b}\)
C.\(x = 4a - b\)
D.\(x = \frac{a}{b}\)

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \({2^{{x^2} - 1}} = {3^{2x + 3}}\).
A.\( - 1\)
B.\( - 3{\log _2}3\)
C.\(1 - {\log _2}3\)
D.\({-\log _2}54\)

Tính \(I = \int {\sin \left( {3x - 1} \right)dx} \).
A.\(I = \cos \left( {3x - 1} \right) + C\)
B.\(I = \frac{1}{3}\cos \left( {3x - 1} \right) + C\)
C.\(I = - \frac{1}{3}\cos \left( {3x - 1} \right) + C\)
D.\(I = - \cos \left( {3x - 1} \right) + C\)

Số đỉnh của khối bát diện đều là:
A.\(6\)
B.\(7\)
C.\(8\)
D.\(9\)

Nội dung nào dưới đây không phản ánh đúng ý nghĩa thắng lợi của cuộc cách mạng dân tộc dân chủ ở Trung Quốc (1946-1949)?
A.Ảnh hưởng sâu sắc tới phong trào giải phóng dân tộc trên thế giới.
B.Đưa Trung Hoa bước vào kỉ nguyên độc lập, tự do và tiến lên chủ nghĩa xã hội.
C.Chấm dứt hơn 100 năm ách nô dịch của đế quốc, xóa bỏ tàn dự phong kiến.
D.Lật đổ triều đình Mãn Thanh - triều đại phong kiến cuối cùng của Trung Quốc.

Mục đích của tổ chức Liên hợp quốc được nêu rõ trong bản Hiến chương là:
A.Bình đẳng chủ quyền giữa các quốc gia và quyền tự quyết của các dân tộc.
B.Duy trì hòa bình và an ninh thế giới, phát triển các mối quan hệ hữu nghị giữa các dân tộc và tiến hành hợp tác quốc tế giữa các nước.n.
C.Không can thiệp vào công việc nội bộ của bất kỳ nước nào.
D.Tiêu diệt tận gốc chủ nghĩa phát xít Đức, Italya và Nhật Bản.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến