Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
Sử dụng bất thẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) tìm giá trị lớn nhất.
Giải chi tiết:\({x^2} - 2mx - 1 = 0\).
\(\Delta ' = {m^2} + 1 > 0,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
\(x = m \pm \sqrt {{m^2} + 1} .\)
Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình nên:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} - 1 = 0\\x_2^2 - 2m{x_2} - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 1 = 2m{x_1}\\x_2^2 - 4 = 2m{x_2} - 3\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 4} \right) = 2m{x_1}\left( {2m{x_2} - 3} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2}{x_1}{x_2} - 6m{x_1} = - 4{m^2} - 6m{x_1}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 4{m^2} - 6m\left( {m \pm \sqrt {{m^2} + 1} } \right).\end{array}\)
Trường hợp 1: \(S = - 4{m^2} - 6m\left( {m + \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\)\( = - 10{m^2} - 6m\sqrt {{m^2} + 1} .\)
Áp dụng bất đẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có:
\( - 6m\sqrt {{m^2} + 1} = 2.\left( { - 3m} \right).\sqrt {{m^2} + 1} \le 9{m^2} + {m^2} + 1 = 10{m^2} + 1\)
\( \Rightarrow S \le - 10{m^2} + 10{m^2} + 1 = 1.\)
Trường hợp 2: \(S = - 4{m^2} - 6m\left( {m - \sqrt {{m^2} + 1} } \right)\)\( = - 10{m^2} + 6m\sqrt {{m^2} + 1} .\)
Áp dụng bất đẳng thức \(2ab \le {a^2} + {b^2}\) ta có:
\(6m\sqrt {{m^2} + 1} = 2.\left( {3m} \right).\sqrt {{m^2} + 1} \le 9{m^2} + {m^2} + 1 = 10{m^2} + 1\)
\( \Rightarrow S \le - 10{m^2} + 10{m^2} + 1 = 1.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) là 1, dấu bằng xảy ra khi \(m = \pm \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\)
Chọn D.
