Hình như bạn bị lỗi một chút. Để phải là: CM

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 2$

Giải như sau:

Đặt $\left ( \frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b} \right )=(x,y,z)$. Khi đó, ta thu được điều kiện sau:

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz+2xyz=1$

Bài toán chuyển về CM $x+y+z+\sqrt{2xyz}\geq 2$$$

$\Leftrightarrow x+y+z+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2$ $(\star)$

Từ điều kiện $(1)$ , áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\left [ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1} \right ][x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)]\geq (x+y+z)^2$

$\Rightarrow x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\geq (x+y+z)^2$

$\Rightarrow x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)$ $(1)$

Ta sẽ chứng minh $2(xy+yz+xz)+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2$$(2)$

Thật vậy:

Theo Am-Gm: $1=xy+yz+xz+2xyz\leq xy+yz+xz+2\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^3}{27}}$

Đặt $\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{3}}=t$. Ta có

$1\leq 3t^2+2t^3\Leftrightarrow (t+1)^2(2t-1)\geq 0\Rightarrow t\geq\frac{1}{2}$

Khi đó $(1)\Leftrightarrow 6t^2+\sqrt{1-3t^2}\geq 2\Leftrightarrow (2t-1)(2t+1)(3t^2-1)\leq0$

Điều này luôn đúng do $t\geq \frac{1}{2}$ và $1>xy+yz+xz=3t^2$

Do đó $(1)$ được CM.

Từ $(1),(2)\Rightarrow (\star)$ đúng, bài toán được hoàn thành.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$, hay $a=b=c$