Cho x, y, z là số dương thỏa: xyz=1. CMR: $\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge1,5$.

ctvloga42

5 năm trước

Cho x, y, z là số dương thỏa: xyz=1.

CMR: $\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge1,5$ .

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 283 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ngatran6642

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2}{4}}=x$

Tượng tự ta có $\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z+1}{4}\ge y\\\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+1}{4}\ge z\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}+\dfrac{x+y+z}{4}+\dfrac{3}{4}\ge x+y+z$

$\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}$ (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$\Rightarrow x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3$

$\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\ge\dfrac{9}{4}$

$\Rightarrow\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}-\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{2}=1,5$ (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow\dfrac{x^2}{y+1}+\dfrac{y^2}{z+1}+\dfrac{z^2}{x+1}\ge1,5$ (đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi $x=y=z=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Chứng minh: $\dfrac{a}{a+bc}+\dfrac{b}{b+ca}+\dfrac{c}{c+ab}\le\dfrac{9}{4}$

(trong đó a, b, c dương thỏa: a+b+c=1)

CMR với a,b,c là số thực dương thì :

$a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ac\left(a^2+c^2\right)$

1/ Cho 2 số a,b thõa: a+b=2. CMR: a2+b2 $\ge$ 2

2/ Cho 3 số a,b,c thõa: ab+bc+ca= 12. Tìm GTLN của P= a2+b2+c2

3 Cho 2 số dương a,b thỏa a+b $\le$ 2. Tìm GTNN của P= $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

4/ Cho 3 số dương a,b,c thõa a+b+c =3 . CMR: A= $\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge1$

1. Cho a,b,c >0 thỏa a2+b2+c2=3 CMR:

$\frac{a^2b^2}{c}+\frac{b^2c^2}{a}+\frac{a^2c^2}{b}>=3$

$\frac{a^3b^3}{c}+\frac{b^3c^3}{a}+\frac{a^3c^3}{b}>=3abc$

CMR: a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c)

tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=4/x+9/(1-x) với x trong khoảng từ 0 đến 1

biết rằng 3 cạnh a, b, c thỏa $a\le1\le b\le2\le c\le3$ tìm tam giác abc thỏa mãn đk trên và có diện tích lớn nhất.

cho tam giác abc. cmr sin3 $\frac{A}{2}$ + sin3 $\frac{B}{2}$ +sin3 $\frac{C}{2}$ $\ge\frac{3r}{4R}$

chứng minh: a) $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2},vớia,b,c>0$

b) $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}$

Cho a,b,c>0 thoả mãn a2+b2+c2=1

CMR: $\frac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\frac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\frac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ac+b^2}}\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)$