Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Áp dụng bất đẳng thức \(ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\,\,\forall a,\,\,b\) để chứng minh \(VT \ge VP\).
Khi đó dấu “=” xảy ra và ta tìm được \(x,\,\,y.\)
Giải chi tiết:Cho \(x,\,y\) thỏa mãn điều kiện: \(3\left( {x\sqrt {y - 9} + y\sqrt {x - 9} } \right) = xy\) . Tính giá trị của biểu thức:
\(S = {\left( {x - 17} \right)^{2018}} + {\left( {y - 19} \right)^{2019}}\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 9 \ge 0\\y - 9 \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 9\\y \ge 9\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3\left( {x\sqrt {y - 9} + y\sqrt {x - 9} } \right)\\ = 3x\sqrt {y - 9} + 3y\sqrt {x - 9} \\ = 3\sqrt x .\sqrt x .\sqrt {y - 9} + 3\sqrt y .\sqrt y .\sqrt {x - 9} \\ = 3\sqrt x .\sqrt {xy - 9x} + 3\sqrt y .\sqrt {xy - 9y} \\ = \sqrt {9x} .\sqrt {xy - 9x} + \sqrt {9y} .\sqrt {xy - 9y} \end{array}\)
Với mọi \(a,\,\,b\) ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0 \Rightarrow 2ab \le {a^2} + {b^2} \Rightarrow ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {a - b} \right)^2} = 0 \Rightarrow a = b\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {9x} .\sqrt {xy - 9x} \le \frac{{9x + xy - 9x}}{2} = \frac{{xy}}{2}\\\sqrt {9y} .\sqrt {xy - 9y} \le \frac{{9y + xy - 9y}}{2} = \frac{{xy}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \sqrt {9x} .\sqrt {xy - 9x} + \sqrt {9y} .\sqrt {xy - 9y} \le \frac{{xy}}{2} + \frac{{xy}}{2} = xy\\ \Rightarrow VT \le VP\end{array}\)
Mà theo đề bài \(VT = VP\)nên dấu “=” xảy ra
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {9x} = \sqrt {xy - 9x} \\\sqrt {9y} = \sqrt {xy - 9y} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9x = xy - 9x\\9y = xy - 9y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {y - 18} \right) = 0\\y\left( {x - 18} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 18\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x \ge 9,\,\,\,y \ge 9} \right)\\ \Rightarrow S = {\left( {x - 17} \right)^{2018}} + {\left( {y - 19} \right)^{2019}} = {\left( {18 - 17} \right)^{2018}} + {\left( {18 - 19} \right)^{2019}} = 1 - 1 = 0.\end{array}\)
Vậy \(S = 0\).
Chọn A.
