Đáp án:
$m=\{8;-5,35\}$
Giải thích các bước giải:
$x² - (m + 2)x + m + 8 = 0$ (*)
Để (*) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì:
$Δ = (m + 2)² - 4(m + 8) = m² + 4m + 4 - 4m - 32 = m² - 28 > 0$
$⇔ m < - 2\sqrt7$ hoặc $ m > 2\sqrt7$ (**)
Khi đó (*) có hai nghiệm phân biệt $x_1 \ne x_2$ thỏa mãn hệ thức Vi-et và điều kiện của đề:
$ \begin{cases}x_1 + x_2 = m + 2 \text{ (1)}\\ x_1x_2 = m + 8\text{ (2)}\\ x_2 = x_1^3\text{ (3)}\end{cases}$
Thay (3) vào (1) và (2) ta được:
$\begin{cases} x_1 + x_1³ = m + 2 \\ x_1.x_1³ = m + 8 \end{cases}$
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên ta được:
$x_1^4 - x_1³ - x_1 = 6$
$⇔ (x_1^4 - 16) - (x_1³ - 8) - (x_1 - 2) = 0$
$⇔ (x_1² - 4)(x_1² + 4) - (x_1 - 2)(x_1² + 2x_1 + 4) - (x_1 - 2) = 0$
$⇔ (x_1 - 2)\left[{(x_1² + 4)(x_1 + 2) - (x_1² + 2x_1 + 4) - 1}\right] = 0$
$⇔ (x_1 - 2)(x_1³ + x_1² + 2x_1 + 3) = 0$
Trường hợp 1:
$x_1 - 2 = 0 ⇔ x_1 = 2 ⇒ x_2 = 8$
thay vào (1): $m + 2 = x_1 + x_2 = 2 + 8 ⇒ m = 8$ (thỏa (**))
Trường hợp 2: $ x_1³ + x_1² + 2x_1 + 3 = 0$
bạn bấm máy ra $x_1≈-1,2757 ⇒ x_2=(-1,27)^3$
Thay $x_1,x_2$ vào (1) $\Rightarrow m≈-5,35$ thỏa mãn điều kiện (**)
Vậy $m=\{8;-5,35\}$ thỏa mãn đề bài.
