Điều kiện để (1) có nghĩa là

\(\begin{cases}n\ge k\+3\ge0\\k+2\ge0\,k\in Z\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}n\ge k\\k\ge-2\,k\in Z\end{cases}\)

Do n,k \(\ge\) 0, nên điều kiện là n \(\ge\) k; n,k \(\in\)Z (2)

Ta có (1) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(n+5\right)!}{\left(n-k\right)!}\) \(\le\) 60\(\frac{\left(n+3\right)!}{\left(n-k+1\right)!}\)

\(\Leftrightarrow\) (n-4)(n+5) \(\le\) \(\frac{60}{n-k+1}\) \(\Leftrightarrow\) (n-4)(n+5)(n-k+1) \(\le\) 60 (3)

Vì n\(\ge\)k \(\Rightarrow\) n-k+1>0\(\Rightarrow\) n-k+1\(\ge\) 1

Ta nhận thấy nếu n\(\ge\)4, thì

(n+4)(n+5)\(\ge\)72 \(\Rightarrow\) VT (3) \(\ge\)72

Do đó mọi n\(\ge\)4 không thỏa mãn (3)

- Xét lần lượt các khả năng

1) Nếu n = 0, do 0\(\le\)k\(\le\)n\(\Rightarrow\)k=0

Khi n=k=0 thì VT(3)=4.5.1=20 \(\Rightarrow\) n=0, k=0 thỏa mãn (3)

2) Nếu n=1, do 0\(\le\)k\(\le\)n \(\Rightarrow\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}k=0\\k=1\end{array}\right.\)

Thử lại n=1, k=0; n=1, k=1 đều thỏa mãn (3)

3) Nếu n=2 khi đó:

(3) \(\Leftrightarrow\) 6.7.(3-k)\(\le\)60

\(\Leftrightarrow\)3-k\(\le\)\(\frac{10}{7}\) \(\Rightarrow\) 3-k=1 \(\Rightarrow\)k=2

4) Nếu n=3

(3)\(\Leftrightarrow\) 7.8.(4-k)\(\le\)60

\(\Leftrightarrow\)4-k\(\le\)\(\frac{60}{56}\) \(\Rightarrow\) 4-k=1 \(\Rightarrow\) k=3

Vậy (1) có các nghiệm (n,k) sau

(0,0), (1,0), (1,1), (2,2), (3,3).