Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Giả sử điểm \(A\left( {t;\,\,\dfrac{{{t^2} + 1}}{t}} \right)\,\,\left( {t \ne 0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 1}}{x}\) nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là: \(y = \dfrac{{{t^2} - 1}}{t}\left( {x - t} \right) + \dfrac{{{t^2} + 1}}{t}\)
Tiếp tuyến trên đi qua \(M\) khi và chỉ khi:
\(b = \dfrac{{{t^2} - 1}}{t}\left( {a - t} \right) + \dfrac{{{t^2} + 1}}{t} \Leftrightarrow \left( {a - b} \right){t^2} + 2t - a = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\) khác 0 thỏa mãn  hay \(f'\left( {{t_1}} \right).f'\left( {{t_2}} \right) =  - 1\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne b}\\{a \ne 0}\\{\Delta ' = 1 + a\left( {a - b} \right) > 0}\\{\dfrac{{t_1^2 - 1}}{{{t_1}}}.\dfrac{{t_2^2 - 1}}{{{t_2}}} =  - 1}\end{array}} \right.\)
Theo định lí Vi-ét ta có \({t_1} + {t_2} = \dfrac{2}{{b - a}},\,\,{t_1}{t_2} = \dfrac{a}{{b - a}}\). Suy ra
\(\dfrac{{t_1^2 - 1}}{{{t_2}}} =  - 17 \Leftrightarrow 2t_1^2t_2^2 - \left( {t_1^2 + t_2^2} \right) + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{2{a^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + \dfrac{{2a}}{{b - a}} - \dfrac{4}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a(b - a( - 4 + {\left( {a - b} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\)
Do \(a \ne 0\) nên từ \({a^2} + {b^2} = 4\) ta suy ra \(\left| b \right| < 2\), do đó: \({a^2} + 1 > 2\left| a \right| > \left| {ab} \right| \ge ab\)
Như vậy tập hợp các điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} = 4}\\{a \ne b}\\{a \ne 0}\end{array}} \right.\)
Tức là đường tròn tâm \(O\), bán kính 2 trừ bỏ đi các điểm \(B\left( {0;2} \right)\), \(C\left( {0; - 2} \right)\), \(D\left( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\) và \(E\left( { - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\).
Chọn A