Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = {\log _2}x\), tìm khoảng giá trị của \(t\).- Đưa bất phương trình về dạng \(m > f\left( t \right)\,\,\forall t \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).- Chứng minh hàm số \(f\left( t \right)\) đơn điệu trên \(\left( {a;b} \right)\) và tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).Giải chi tiết:Đặt \(t = {\log _2}x\), do \(x \in \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) nên \(t > \dfrac{1}{2}.\) Khi đó bất phương trình tương đương:\({\left( {t + 1} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - 2 < 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2mt - 1 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}} < m\)Yêu cầu bài toán trở thành bất phương trình trên có nghiệm \(t \ge \dfrac{1}{2}\). Đặt \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 1}}{{2t}}\). Ta có:\(f'\left( t \right) = \left( {\dfrac{t}{2} - \dfrac{1}{{2t}}} \right)' = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2{t^2}}} > 0,\,\,t > \dfrac{1}{2}\)Do đó yêu cầu bài toán tương đương \(m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) =  - \dfrac{3}{4}\).Chọn B