Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Giải phương trình thứ hai tìm \(y\), sử dụng \({y^2} = {\left| y \right|^2}\).
- Thế vào phương trình thứ nhất tìm \(x\) và suy ra số nghiệm của hệ \( \Rightarrow n\).
- Xét phương trình \({x^2} - nx + 2 = 0\), nếu có nghiệm sử dụng định lí Vi-ét tìm tổng các nghiệm.Giải chi tiết:Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2x + 2y = 1\\{y^2} - 3\left| y \right| =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2x + 2y = 1\\{\left| y \right|^2} - 3\left| y \right| + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2x + 2y = 1\\\left[ \begin{array}{l}\left| y \right| = 2\\\left| y \right| = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2x + 2y = 1\\\left[ \begin{array}{l}y =  \pm 2\\y =  \pm 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\{x^2} + 2x + 7 = 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y =  - 2\\{x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\{x^2} + 2x + 2 = 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\{x^2} + 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm \( \Rightarrow n = 4\).
Khi đó phương trình \({x^2} - nx + 2 = 0\) trở thành \({x^2} - 4x + 2 = 0\) có \(\Delta ' = 4 - 2 = 2 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 4 (theo định lí Vi-ét).
Chọn D.