a) Sử dụng phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng và hai mặt phẳng song song. b) Gọi \(O\) là giao điểm của các đường trung tuyến \(CM\) và \(BN\), sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác, áp dụng định lý Py-ta-go và tính chất của tam giác vuông cân.Giải chi tiết: a) Ta có : \(SC \bot SA;{\rm{ }}SC \bot SB \Rightarrow SC \bot mp\left( {SAB} \right)\) Mặt khác : \(SC \subset mp\left( {SAC} \right)\)nên \(mp\left( {SAC} \right) \bot mp\left( {SAB} \right)\) \(SC \subset mp\left( {SBC} \right)\)nên \(mp\left( {SBC} \right) \bot mp\left( {SAB} \right)\) Do đó mặt bên \(\left( {SAB} \right)\)vuông góc với các mặt bên \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\). Chứng minh tương tự ta được mỗi mặt bên \(\left( {SBC} \right),\,\,\left( {SCA} \right)\) đều vuông góc với hai mặt bên còn lại. b) Xét tam giác đều \(ABC\). Gọi \(O\) là giao điểm của các đường trung tuyến \(CM\) và \(BN\). Khi đó, \(BO = \dfrac{2}{3}BN\)\( = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Xét \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có : \(\begin{array}{l}S{A^2} + S{B^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow 2S{B^2} = {a^2}\\ \Leftrightarrow SB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\end{array}\) Vì \(SO\) là đường cao của hình chóp \(S.ABC\)\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot BM\)\( \Rightarrow \angle SOB = {90^0}\) Xét \(\Delta SOB\) vuông tại \(O\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có : \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,S{O^2} = S{B^2} - O{B^2}\\ \Leftrightarrow S{O^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{{a^2}}}{6}\\ \Rightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\end{array}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\) Vậy chiều cao của hình chóp là \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\) Chọn C.
