Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

+ Sử dụng định nghĩa, đặc điểm của hình chóp tứ giác đều.
+ Sử dụng tính chất của hình vuông, định lý Py-ta-go.Giải chi tiết:
Hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) nên đáy\(ABCD\) là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau. có \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = BC = CD = AD = 2\left( {cm} \right){\rm{ }}\\SA = SB = SC = SD = 4\left( {cm} \right)\end{array} \right.\)
Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) có :
\(B{D^2} = A{D^2} + A{B^2}\) (định lý Py – ta – go)
\( \Rightarrow BD = \sqrt {A{D^2} + A{B^2}} \)\( = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
Mà hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) bằng nhau (hình vuông \(ABCD\)) \( \Rightarrow AC = BD = 2\sqrt 2 \) 
\( \Rightarrow AO = \dfrac{{AC}}{2} = \sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
Vì \(SO\) là đường cao của hình chóp \(S.ABCD\)\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow SO \bot AC\)\( \Rightarrow \angle SOA = {90^0}\)  
Xét \(\Delta SOA\,\,\left( {\angle SOA = {{90}^ \circ }} \right)\) vuông tại \(O\), ta có:
\(S{O^2} + O{A^2} = S{A^2}\) (định lý Py-ta-go)
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \)
\( \Rightarrow SO = \sqrt {{4^4} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \)\( = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
Vậy chiều cao hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là \(3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\).
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\)\( \Rightarrow SH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AB\)
 Xét \(\Delta SAB\) cân tại \(S\left( {SA = SB} \right)\) có :
\(SH\) là đường trung tuyến (chứng minh trên)
\( \Rightarrow SH\) đồng thời là đường cao ứng với cạnh\(AB\)(tính chất các đường trong tam giác cân)
Xét \(\Delta SBH\,\)vuông tại \(H\left( {\angle SHB = {{90}^0}} \right)\)
\(S{H^2} + H{B^2} = S{B^2}\) (định lý Py-ta-go)
\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}} \)\( = \sqrt {{4^2} - {1^2}}  = \sqrt {15} \,\,\left( {cm} \right)\)
Vậy độ dài trung đoạn của hình chóp  là \(\sqrt {15} \left( {cm} \right)\).
Chọn D.