Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Chia cả 2 vế của bất phương trình \({3.12^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right){.16^{f\left( x \right)}} - {9^{f\left( x \right)}}.m \ge \left( {{m^2} + 2m} \right){.3^{2f\left( x \right)}}\) cho \({9^{f\left( x \right)}}\) ta được:
- Đặt \(g\left( x \right) = \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}}\), đưa bất phương trình về dạng  \({m^2} + 3m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 3m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\).
- Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tìm \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 4\).
- Giải bất phương trình tìm \(m\).Giải chi tiết:Chia cả 2 vế của bất phương trình \({3.12^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right){.16^{f\left( x \right)}} - {9^{f\left( x \right)}}.m \ge \left( {{m^2} + 2m} \right){.3^{2f\left( x \right)}}\) cho \({9^{f\left( x \right)}}\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} - m \ge {m^2} + 2m\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge {m^2} + 3m\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)
Đặt \(g\left( x \right) = \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}}\) ta có \({m^2} + 3m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} + 3m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) \ge 1\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) \ge 1\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 1 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^1} = 4\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow g\left( x \right) \ge 4\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\).
Do đó \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 4 \Rightarrow {m^2} + 3m \le 4 \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 1\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).
Vậy có 6 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D