Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn \(t\), với \(t = {\log _a}x\). Sử dụng công thức \({\log _x}y = \dfrac{{{{\log }_z}y}}{{{{\log }_z}x}}\) \(\left( {0 < x,z \ne 1,\,\,y > 0} \right)\).- Sử dụng định lí Vi-ét tìm \({x_1}{x_2}\) theo \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\).- Áp dụng BĐT Cô-si \(\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}}  \ge \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{x_i}} }}\,\,\left( {{x_i} > 0} \right)\). Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, từ đó tìm được \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) và tính \(S\).Giải chi tiết:ĐKXĐ \(x > 0\).Ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {{{\log }_a}x} \right).\left( {{{\log }_b}x} \right) - \left( {1 + 2{{\log }_a}b + 3{{\log }_a}c + 5{{\log }_a}d} \right).{\log _b}x - {\log _b}{a^{2020}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_a}x} \right).\dfrac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}} - \left( {1 + 2{{\log }_a}b + 3{{\log }_a}c + 5{{\log }_a}d} \right).\dfrac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_a}b}} - \dfrac{{2020}}{{{{\log }_a}b}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}x} \right)^2} - \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}{b^2} + {{\log }_a}{c^3} + {{\log }_a}{d^5}} \right){\log _a}x - 2020 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}x} \right)^2} - {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right).{\log _a}x - 2020 = 0\end{array}\)Đặt \(t = {\log _a}x\), phương trình trở thành \({t^2} - {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right).t - 2020 = 0\).Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình ban đầu nên \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = {\log _a}{x_1}\\{t_2} = {\log _a}{x_2}\end{array} \right.\) là 2 nghiệm của phương trình (*).Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{t_1} + {t_2} = {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _a}{x_1} + {\log _a}{x_2} = {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = {\log _a}\left( {a{b^2}{c^3}{d^5}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} = a{b^2}{c^3}{d^5}\end{array}\)Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,a + b + c + d = 2021\\ \Leftrightarrow 2021 = a + \dfrac{b}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{c}{3} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5} + \dfrac{d}{5}\\ \Leftrightarrow 2021 \ge 11\sqrt[{11}]{{a.\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}.\dfrac{d}{5}}}\\ \Leftrightarrow 2021 \ge 11\sqrt[{11}]{{\dfrac{{a{b^2}{c^3}{d^5}}}{{337500}}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{a{b^2}{c^3}{d^5}}}{{337500}} \le {\left( {\dfrac{{2021}}{{11}}} \right)^{11}}\\ \Leftrightarrow a{b^2}{c^3}{d^5} \le 337500{\left( {\dfrac{{2021}}{{11}}} \right)^{11}}\end{array}\)Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{d}{5}\\a + b + c + d = 2021\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{d}{5}\\a + 2a + 3a + 5a = 2021\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{d}{5}\\a = \dfrac{{2021}}{{11}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{2021}}{{11}}\\b = \dfrac{{4042}}{{11}}\\c = \dfrac{{6063}}{{11}}\\d = \dfrac{{10105}}{{11}}\end{array} \right.\end{array}\)\( \Rightarrow {x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(337500{\left( {\dfrac{{2021}}{{11}}} \right)^{11}}\) khi \(a = \dfrac{{2021}}{{11}},\,\,b = \dfrac{{4042}}{{11}},\,\,c = \dfrac{{6063}}{{11}},\,\,d = \dfrac{{10105}}{{11}}\).Vậy khi \({x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất thì \(S = a + 2b + 3c + 5d = \dfrac{{78819}}{{11}}\).Chọn D