Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Sưu tầm nhóm Toán VD – VDC
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), có \(\Delta SAC\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AC\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\SH \subset \left( {SAC} \right),\,\,SH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Kẻ \(HP \bot BC,\,\,HQ \bot AB\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HP\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHP} \right) \Rightarrow BC \bot SP\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SP \subset \left( {SBC} \right),\,\,SP \bot BC\\HP \subset \left( {ABC} \right),\,\,HP \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SP;HP} \right) = \angle SPH = {45^0}\).
Chứng minh tương tự ta có \(\angle SQH = {60^0}\)
Từ A kẻ đường thẳng d // BC, kẻ \(HK \bot d\). Nối \(SK\) và kẻ \(HI \bot HK\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot HK\\AK \bot SH\\HK \cap SH = H\\HK,\,SH \subset \left( {SHK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AK \bot HI\).
Mà \(HI \bot SJ,\,\,AK \cap SK = K,\,\,AK,\,\,SK \subset \left( {SAK} \right)\) nên \(HI \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAK} \right) = HI} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC//AK\\AK \subset \left( {SAK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC//\left( {SAK} \right) \supset SA\).
\( \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = d\left( {BC;\left( {SAK} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SAK} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAK} \right)} \right) = 2HI = a\) \( \Rightarrow HI = \dfrac{a}{2}\).
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC//HK\\HK \bot AK,\,\,HP \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow H,\,\,K,\,\,P\) thẳng hàng và \(\dfrac{{HP}}{{HK}} = \dfrac{{HC}}{{HA}} = 1\) \( \Rightarrow HK = HP\)
Đặt \(SH = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Tam giác \(SHP\) vuông tại \(H\) và có \(\angle SPH = {45^0}\) nên \(\Delta SHP\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow HP = HK = x\).
\(\Delta SHK\) vuông tại \(H\), \(HI \bot SK \Rightarrow HI = \dfrac{{SH.SK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} \Rightarrow \dfrac{a}{2} = \dfrac{{{x^2}}}{{x\sqrt 2 }} \Rightarrow x = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Tam giác \(SHQ\) vuông tại H có \(\angle SQH = {60^0}\) \( \Rightarrow HQ = \dfrac{{SH}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\).
Lại có \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên HP // AB, HQ // BC, mà H là trung điểm của AC nên HP. HQ là các đường trung bình của tam giác ABC.
\( \Rightarrow AB = 2x = a\sqrt 2 ,\,\,BC = \dfrac{{2x}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{1}{2}a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{18}}\).
Chọn A