Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).Giải chi tiết:Hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) - mx + 1\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m\). Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} - m \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow m \le \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\) ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). BBT:
Từ BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = - 1\). Vậy \(m \le - 1\). Chọn C
