- Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.- Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).- Chứng minh \(M\) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho, giải phương trình \(y'' = 0\) tìm \(M\).- Thay \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) tìm \(m\).Giải chi tiết:Ta có: \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x\) \( \Rightarrow y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1\).Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình \(y' = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt.\( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - {m^2} + 1 > 0 \Leftrightarrow 1 > 0\) (luôn đúng).Để \(A,\,\,B\) nằm khác phía và cách đều đường thẳng \(d:\,\,y = 5x - 9\) thì điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\) phải thuộc \(d\).Vì hàm đa thức bậc ba nhận điểm uốn làm điểm đối xứng nên \(M\) chính là điểm uốn của hàm số ban đầu.Ta có \(y'' = 2x - 2m = 0 \Leftrightarrow x = m\) \( \Rightarrow y = \dfrac{1}{3}{m^3} - {m^3} + \left( {{m^2} - 1} \right)m = \dfrac{1}{3}{m^3} - m\).\( \Rightarrow M\left( {m;\dfrac{1}{3}{m^3} - m} \right)\).\(M \in d \Rightarrow \dfrac{1}{3}{m^3} - m = 5m - 9 \Leftrightarrow {m^3} - 18m + 27 = 0\).Vậy tổng các giá trị của \(m\) là \(0\) (Định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba).Chọn C
