Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Gọi \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\).- Từ các giả thiết tìm \({a^2} + {b^2},\,\,{c^2} + {d^2},\,\,ac + bd\).- Tính \({z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}\).- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\).Giải chi tiết:Gọi \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\).Theo bài ra ta có:+ \(\left| {{z_1}} \right| = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 9\) (1)+ \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2} = 9\) (2)+ \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} = 27\) (3)Trừ vế theo vế của phương trình (2) và (3) ta được \(4ac + 4bd = - 18 \Leftrightarrow ac + bd = \dfrac{{ - 9}}{2}\).Ta có: \(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2ac + 2bd = 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 9 + {c^2} + {d^2} - 9 = 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {c^2} + {d^2} = 9\end{array}\)Ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}\\ = \left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right) + \left( {a - bi} \right)\left( {c + di} \right)\\ = ac - adi + bci + bd + ac + adi - bci + bd\\ = 2ac + 2bd = - 9\end{array}\)Khi đó ta có:\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{\left( {{z_1}\overline {{z_2}} } \right)^3} + {\left( {\overline {{z_1}} {z_2}} \right)^3}\\ = {\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right)^3} - 3\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right){z_1}\overline {{z_2}} \overline {{z_1}} {z_2}\\ = {\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right)^3} - 3\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right){\left| {{z_1}} \right|^2}{\left| {{z_2}} \right|^2}\\ = {\left( { - 9} \right)^3} - 3.\left( { - 9} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)\\ = - 729 + 27.9.9 = 1458\end{array}\)Vậy \(\left| {{{\left( {{z_1}\overline {{z_2}} } \right)}^3} + {{\left( {\overline {{z_1}} {z_2}} \right)}^3}} \right| = 1458\).Chọn A
