Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng: \({V_{AMNB}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {MNB} \right)} \right){S_{\Delta MNB}}\), chứng minh \({V_{AMNB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({S_{\Delta MNB}}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
- Sử dụng: \({S_{\Delta MNB}} = \dfrac{1}{2}BO.MN\), chứng minh \({S_{\Delta MNB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(M{N_{\min }}\).
- Chứng minh \(\Delta OMB \sim \Delta OKN\), từ đó tính \(OM.ON\) và áp dụng BĐT Cô-si tìm \(M{N_{\min }}\).
- Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra, suy ra tọa độ điểm \(M\).
- Chứng minh \(MB \bot \left( {AHN} \right)\), viết phương trình mặt phẳng \(\left( {AHN} \right)\).Giải chi tiết:
Ta có: \({V_{AMNB}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {MNB} \right)} \right){S_{\Delta MNB}}\).
Ta có \(d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {Oyz} \right)} \right) = \sqrt 3 \) không đổi nên \({V_{AMNB}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \({S_{\Delta MNB}}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \({S_{\Delta MNB}} = \dfrac{1}{2}BO.MN = \dfrac{1}{2}.2.MN = MN\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow MN\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AK \bot OB\\AK \bot OM\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {OMB} \right) \Rightarrow AK \bot MB\\\left\{ \begin{array}{l}MB \bot AK\\MB \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow MB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow MB \bot HK \Rightarrow MB \bot KN\end{array}\)
Xét \(\Delta OMB\) và \(\Delta OKN\) có:
\(\angle MOB = \angle KON = {90^0}\)
\(\angle OMB = \angle OKN\) (hai góc có các cặp cạnh tương ứng vuông góc).
\( \Rightarrow \Delta OMB \sim \Delta OKN\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{OM}}{{OB}} = \dfrac{{OK}}{{ON}} \Rightarrow OM.ON = OK.OB = 2.1 = 2\).
Khi đó ta có \(MN = OM + ON \ge 2\sqrt {OM.ON}  = 2\sqrt 2 \) (BĐT Cô-si).
Dấu “=” xảy ra khi \(OM = ON = \sqrt 2 \)  \( \Rightarrow M\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\).
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {BM}  = \left( {0; - 2;\sqrt 2 } \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {AHN} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {AHN} \right)\): \( - 2y + \sqrt 2 z + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2y - \sqrt 2 z - 2 = 0\)
\( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 2,\,\,c =  - 2\).
Vậy \(a + b + c = 0\).
Chọn D