Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A,\,\,B:\,\,x - 2y + 3 = 0\).
Giả sử \(M\left( {4\cos \varphi ;\,\,\sqrt 5 \sin \varphi } \right) \in \left( E \right)\,\,\left( {0 \le \varphi \le 2\pi } \right)\).
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác và khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.Giải chi tiết:Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\,2} \right),\,\,AB = 2\sqrt 5 \)
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A,\,\,B:\,\,x - 2y + 3 = 0\).
Giả sử \(M\left( {4\cos \varphi ;\,\,\sqrt 5 \sin \varphi } \right) \in \left( E \right)\,\,\left( {0 \le \varphi \le 2\pi } \right)\).
\({S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {M,\,\,\Delta } \right)\) có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right)\)lớn nhất.
Ta có: \({d_{\left( {M,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {4\cos \varphi - 2\sqrt 5 \sin \varphi + 3} \right|}}{{\sqrt 5 }} \le \frac{{\left| {4\cos \varphi - 2\sqrt 5 \sin \varphi } \right| + 3}}{{\sqrt 5 }}\)
\( \Leftrightarrow d\left( {M,\Delta } \right) \le \frac{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2\sqrt 5 } \right)}^2}} + 3}}{{\sqrt 5 }} = \frac{9}{{\sqrt 5 }}\).
Vậy \({S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {M,\Delta } \right) = 9\).
Chọn A.
