Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
a) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chưa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì đó là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác \(IDCE\) nội tiếp
c) Sử dụng hệ quả của định lý Ta – létGiải chi tiết:
a) Vì \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow OI \bot BC\)
Tứ giác \(POID\) có \(\angle OIP = \angle ODP = 90^\circ \) nên \(POID\) là tứ giác nội tiếp.
Vậy bốn điểm \(P,O,I,D\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Có \(\angle ICE = \angle IPN\) (đồng vị)
\(\angle IDO = \angle IPN\) (\(POID\) là tứ giác nội tiếp)
Suy ra \(\angle ICE = \angle IDE \Rightarrow IDCE\) là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(\angle EIC = \angle EDC\), hay \(\angle EIP = \angle EDC\) .
c) Có \(\angle EDC = \angle ABC\) (cùng chắn cung \(AC\))
Nên \(\angle EIP = \angle ABC \Rightarrow EI\,{\rm{//}}\,BQ\), mà \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow EI\) là đường trung bình của tam giác \(BCQ\)
Suy ra \(E\) là trung điểm \(QC\).
Có \(MN\,{\rm{//}}\,QC\), Áp dụng định lý Ta – lét ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{NO}}{{QE}} = \frac{{AO}}{{AE}}\\\frac{{MO}}{{CE}} = \frac{{AO}}{{AE}}\end{array}\)
Suy ra \(\frac{{NO}}{{QE}} = \frac{{MO}}{{CE}}\), mà \(QE = CE \Rightarrow OM = ON\)
Vậy \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\).
