Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Vì \({x^2} - x + 1 = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x\) nên biểu thức \(Q\) xác định
Có \(Q > 0\) (do \(x > 0\))
\(Q = \frac{{3x}}{{{x^2} - x + 1}} \Leftrightarrow Q{x^2} - x\left( {Q + 3} \right) + Q = 0\)
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn \(x\).
Do tồn tại \(x\) nên \(\Delta  = {\left( {Q + 3} \right)^2} - 4{Q^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left( {Q - 3} \right)\left( {3Q + 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow Q \le 3\)
Vậy \(0 < Q \le 3\), để \(Q\) nguyên thì  \(Q\) chỉ có thể bằng \(1,2\) hoặc \(3\).
Với \(Q = 1 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{{x^2} - x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 3 \\x = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Với \(Q = 2 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{{x^2} - x + 1}} = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Với \(Q = 3 \Leftrightarrow \frac{{3x}}{{{x^2} - x + 1}} = 3 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{2};1;2;2 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right\}\) thì biểu thức \(Q\) nhận giá trị là những số nguyên.
Chọn D.