Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Gọi \(N,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) và \(AK \cap CN = H\).
Khi đó \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
\( \Rightarrow HN = \dfrac{{CN}}{3} = \dfrac{{2a}}{3}\,;\,\,\,\,\,\dfrac{{AH}}{{AK}} = \dfrac{2}{3}\).
Mà G là trọng tâm tam giác SBC nên \(\dfrac{{SG}}{{SK}} = \dfrac{2}{3}\).
Do đó \(\dfrac{{SG}}{{SK}} = \dfrac{{AH}}{{AK}}\, \Rightarrow GH\parallel SA\, \Rightarrow \dfrac{{GH}}{{SA}} = \dfrac{{HK}}{{AK}} = \dfrac{1}{3}\).
Có \(AM = \dfrac{2}{3}SA = 2a\, \Rightarrow \dfrac{{GH}}{{AM}} = \dfrac{{GH}}{{\dfrac{2}{3}SA}} = \dfrac{1}{2}\).
Gọi \(MG \cap AK = I\).
Xét tam giác vuông \(MAI\) có \(MA//GH\, \Rightarrow \dfrac{{IH}}{{AI}} = \dfrac{{GH}}{{AM}} = \dfrac{1}{2}\, \Rightarrow H\) là trung điểm của\(AI\).
Mà \(N\) là trung điểm của \(AB\) nên \(HN\) là đường trung bình của tam giác \(ABI\).
\( \Rightarrow BI//HN\,\) và \(BI = 2HN = 2.\dfrac{1}{3}CN = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{4a}}{3}\).
Gọi \(J\) là trung điểm của \(AN\) \( \Rightarrow d\left( {E;BI} \right) = d\left( {J;BI} \right) = JB = 3a\).
Mà \({S_{AEBI}} = {S_{ABE}} + {S_{EBI}} = \dfrac{1}{2}d\left( {E;AB} \right).AB + \dfrac{1}{2}d\left( {E;BI} \right).BI\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.2a.4a + \dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{{4a}}{3} = 6{a^2}\)
Có \({V_{M.AEBI}} = \dfrac{1}{3}.MA.{S_{AEBI}} = \dfrac{1}{3}.2a.6{a^2} = 4{a^3}\), \({V_{G.BEI}} = \dfrac{1}{3}.GH.{S_{BEI}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}2a.\dfrac{1}{2}.3a.\dfrac{{4a}}{3} = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\).
Vậy \({V_{M.GABE}} = {V_{M.AEBI}} - {V_{G.BEI}} = \dfrac{{10{a^3}}}{3}\).
Chọn D
