Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OA\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;OA} \right) = \angle SAO\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right)\).
Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH\).
Ta có: \(AB//CD \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right) \supset SA\) \( \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\).
Lại có \(CO \cap \left( {SAB} \right) = A \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{CA}}{{OA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = 2OH = SO\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{4O{H^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Leftrightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{4}\\ \Rightarrow SO = 2OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)
Xét tam giác vuông \(SOA\) có: \(\sin \angle SAO = \dfrac{{SO}}{{SC}} = \dfrac{{SO}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\).
Chọn B