Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Gọi phương trình đường thẳng \(d\) là: \(y = ax\,\,\left( {a > 0} \right)\).Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l}4{x^3} - 3{x^2} = ax \Leftrightarrow 4{x^3} - 3{x^2} - ax = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {4{x^2} - 3x - a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4{x^2} - 3x - a\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng \(d\) cắt đường cong \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 9 + 16a > 0\end{array} \right.\,\,\left( {luon\,\,dung\,\,\forall a > 0} \right)\).Vì \( - 4a < 0\,\,\forall a > 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu. Gọi \({x_1} < 0 < {x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1).Áp dụng định lí Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{3}{4}\\{x_1}{x_2} =  - \dfrac{a}{4}\end{array} \right.\).Khi đó ta có: \(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{{x_1}}^0 {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - ax} \right)dx} \\{S_2} =  - \int\limits_0^{{x_2}} {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - ax} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\, =  - \left. {\left( {{x^4} - {x^3} - a\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{{x_2}}\\\,\,\,\,\,\, =  - x_2^4 + x_2^3 + \dfrac{{ax_2^2}}{2} = \dfrac{{135}}{2}\\ \Leftrightarrow  - 2x_2^4 + 2x_2^3 + ax_2^2 = 135\end{array}\)Mà \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên \(4x_2^2 - 3{x_2} = a\).Do đó ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\, - 2x_2^4 + 2x_2^3 + \left( {4x_2^2 - 3{x_2}} \right)x_2^2 = 135\\ \Leftrightarrow  - 2x_2^4 + 2x_2^3 + 4x_2^4 - 3x_2^3 = 135\\ \Leftrightarrow 2x_2^4 - x_2^3 = 135\\ \Leftrightarrow {x_2} = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 27\\{x_1} =  - \dfrac{9}{4}\end{array} \right.\end{array}\)Vậy \({S_1} = \int\limits_{{x_1}}^0 {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - ax} \right)dx}  = \int\limits_{ - \dfrac{9}{4}}^0 {\left( {4{x^3} - 3{x^2} - 27x} \right)dx}  = \dfrac{{8019}}{{256}}\).Chọn C