Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

Chứng minh \(P\left( {x;\,\,y} \right) \ge 0\) và tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra. Từ đó tìm được giá trị của \(m\). Thay vào biểu thức \(P\) để tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.Giải chi tiết:Ta có:
\(P\left( {x;\,\,y} \right) \ge 0\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2my + 1 = 0}\\{mx + 2y = 0}\end{array}} \right.\) (*)
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{2m}\\m&2\end{array}} \right| = 2 - 2{m^2}\)
Nếu \(D \ne 0 \Leftrightarrow 2 - 2{m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\) thì hệ phương trình (*) có nghiệm do đó \(\min P\left( {x;y} \right) = 0\) .
Nếu \(D = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m =  - 1}\end{array}} \right.\)
Với \(m = 1\) ta có \(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x + 2y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2y} \right)^2} = 2{\left( {x + 2y} \right)^2} + 2\left( {x + 2y} \right) + 1\).
\( \Rightarrow P\left( {x;\,\,y} \right) = 2{\left( {x + 2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\)
Suy ra \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x + 2y + \dfrac{1}{2} = 0\)
Với \(m =  - 1\) ta có \(P\left( {x;\,\,y} \right) = {\left( {x - 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - x + 2y} \right)^2} = 2{\left( {x - 2y} \right)^2} + 2\left( {x - 2y} \right) + 1\).
\( \Rightarrow P\left( {x;\,\,y} \right) = 2{\left( {x - 2y + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{2}\)
Suy ra \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x - 2y + \dfrac{1}{2} = 0\).
Vậy \(m \ne  \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = 0\), \(m =  \pm 1\) thì \(\min P\left( {x;\,\,y} \right) = \dfrac{1}{2}\).
Chọn D