Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Chứng minh được \(AEHF\)nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {AFE}\)Mà \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB}\)(cùng bù với \(\widehat {BFE})\)\(\widehat {ACB} = \widehat {HEK}\)(cùng chắn \(\widehat {KHE} = \widehat {HEK} \Rightarrow \Delta KHE\) cân tại \(K \Rightarrow KH = KH\left( 1 \right)\)Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {KHE} + \widehat {KAE} = {90^0}\\\widehat {HEK} + \widehat {KEA} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {KAE} = \widehat {KEA}\)Suy ra tam giác \(AKE\)cân tại \(K\) nên \(KA = KE\left( 2 \right)\)Từ (1) và (2) suy ra \(KA = KE\).Dễ dàng chứng minh được \(\Delta AHE \sim \Delta ACD \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AC.AE\left( 3 \right)\)Xét \(\Delta AEM\)và \(\Delta AMC\)có:\(\widehat {EAM}\,\)chung, \(\widehat {AME} = \widehat {ACM}\) (cùng chắn \( \Rightarrow \Delta AEM \sim \Delta AMC(g - g) \Rightarrow \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = A{M^2}\left( 4 \right)\)Từ (3) và (4) \( \Rightarrow AH.AD = A{M^2} \Leftrightarrow \frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AD}}\)Xét \(\Delta AHM\)và \(\Delta AMD\)có:\(\widehat {HAM}\,\,\,{\rm{chung}}{\rm{,}}\,\,\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AD}}\)\( \Rightarrow \Delta AHM \sim \Delta AMD(c.g.c) \Rightarrow \widehat {HDM} = \widehat {AMH} \Rightarrow AM\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right)\)Suy ra \(IM \bot AM\), mà \(OM \bot AM\)Nên \(O,I,M\)thẳng hàng.