Dùng phương pháp cộng góc, ta chứng minh \(\widehat {POG} + \widehat {OPB} = 90^\circ \) với \(P\) là giao điểm của \(BM\) và \(OA.\)Sử dụng lượng giác và bắc cầu tỉ số.Giải chi tiết:Gọi \(L\) là trung điểm của \(AB,\,\,ML\) cắt \(AO\) tại \(J\), \(I\) là trung điểm \(BC\).Xét \(\Delta OLJ\) và \(\Delta BAI\) có: \( \Rightarrow \Delta OLJ \sim \Delta BAI(g.g) & (1)\)Tam giác \(ABM\) có \(G\) là trọng tâm nên \(LG = \frac{1}{3}LM = \frac{2}{3}LJ & (2)\)Gọi \(P\) là giao điểm của \(BM\) và \(OA.\) Ta có \(P\) là trọng tâm \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow AP = \frac{2}{3}AI\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \Delta OGJ \sim \Delta BPI \Rightarrow \widehat {POG} + \widehat {OPB} = \widehat {POG} + \widehat {OGJ} = 90^\circ \)\( \Rightarrow OG \bot BM\).Ta có \(\Delta BEC\) vuông tại \(E \Rightarrow \sin \widehat C = \frac{{BE}}{{BC}}\)\(\Delta BKF\) vuông tại \(F \Rightarrow \sin \widehat {FBK} = \frac{{KF}}{{BK}}\)Mà tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat C = \widehat {FBK} \Rightarrow \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{KF}}{{BK}} \Rightarrow \frac{{BE}}{{KF}} = \frac{{BC}}{{BK}}\left( * \right)\)Mặt khác \(\Delta BAN\) cân tại \(B\) vì \(BA = BN\), có \(NK,AI\) là 2 đường cao ứng với hai cạnh bên nên \(NK = AI\)Chứng minh được \(\Delta BKN = \Delta BIA \Rightarrow BK = BI\)Thay vào (*) ta được \(\frac{{BE}}{{KF}} = \frac{{BC}}{{BI}} = 2\).
