a) Sử dụng cộng góc, bắc cầu góc chứng minh tam giác đồng dạng. Để chứng minh \(AH\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\) thì ta chứng minh \(\widehat {AHD} = \widehat {HED}\)b) Gọi giao điểm của \(AO'\) với \(BC\) là \(M\). Ta chứng minh \(M\) là trung điểm \(BC\) bằng cách chứng minh \(OM \bot BC\) hay tứ giác \(AOMF\) là tứ giác nội tiếpGiải chi tiết:a) Không mất tính tổng quát , giả sử \(AB < AC.\) Gọi \(AL\) là đường cao của tam giác \(ABC,AF\) là tiếp tuyến của (O) \(\left( {L,F \in BC} \right),AK\) là đường kínhTa có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AKC},\widehat {ALB} = \widehat {ACK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAL} = \widehat {KAC}\) và \(\widehat {BAK} = \widehat {CAL}\)Suy ra \(\widehat {DEH} = {90^0} - \widehat {BAK} = {90^0} - \widehat {CAH} = \widehat {ACB}.\)Tương tự ta được \(\widehat {HDE} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta HDE \sim \Delta ABC\)Lại có \(\widehat {AHD} = {90^0} - \widehat {CAH} = \widehat {ACB} = \widehat {HED}\)Vì vậy \(AH\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O'} \right)\).b) Gọi giao điểm của \(AO'\) với \(BC\) là \(M\)Ta có : \(\Delta ABF \sim \Delta HDA(g.g)\) (vì \(\widehat {AHD} = \widehat {ACB} = \widehat {BAF}\) và \(\widehat {DAH} = \widehat {BFA}\) do cùng phụ \(\widehat {FAL}\))\(\Delta AOB,\Delta HO'D\) là hai tam giác cân tại \(O,O'\), lại có \(\widehat {HO'D} = 2\widehat {HED} = 2\widehat {ABC} = \widehat {AOB}\)Suy ra \(\Delta AOB \sim \Delta HO'D\)Suy ra \(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{HD}} = \frac{{OA}}{{O'H}} \Rightarrow \Delta OAF \sim \Delta O'HA\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {AOF} = \widehat {AO'H} = \widehat {AMF}\left( {HO'\,\,{\rm{//}}\,BC} \right)\)\( \Rightarrow AOMF\) là tứ giác nội tiếpSuy ra \(OM \bot BC \Rightarrow M\) là trung điểm BCVậy \(AO'\) đi qua \(M\) là trung điểm \(BC\).
