Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Phương pháp miền giá trị của biểu thứcGiải chi tiết:a) \(A = \frac{{3x + 5\sqrt {x - 1}  - 14}}{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt {x - 1}  - 2}}{{\sqrt {x - 1}  - 1}} - \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1}  + 2}}\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{x + 6\sqrt {x - 1}  - 8}}{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + 7} \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)}}\\A = \frac{{\sqrt {x - 1}  + 7}}{{\sqrt {x - 1}  + 2}}\end{array}\)
Vậy \(A = \frac{{\sqrt {x - 1}  + 7}}{{\sqrt {x - 1}  + 2}},\)với điều kiện \(x \ge 1,x \ne 2\).
b) Ta có: \(A = 1 + \frac{5}{{\sqrt {x - 1}  + 2}}.\)Với \(x \ge 1,x \ne 2 \Rightarrow 0 < \frac{5}{{\sqrt {x - 1}  + 2}} \le \frac{5}{2}\)
Vì \(A\) nhận giá trị nguyên nên \(\frac{5}{{\sqrt {x - 1}  + 2}}\) nhận giá trị nguyên nên:
\(\begin{array}{l}TH1:\frac{5}{{\sqrt {x - 1}  + 2}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = 3 \Leftrightarrow x = 10(tm)\\TH2:\frac{5}{{\sqrt {x - 1}  + 2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5}{4}(tm)\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{5}{4};10} \right\}\) thỏa mãn đề bài.