Đáp án đúng:

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức Vi – et và bất đẳng thức AM – GMGiải chi tiết:Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\)và \(\left( d \right)\) là :
\({x^2} =  - mx + 2 - m \Leftrightarrow {x^2} + mx + m - 2 = 0\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 4m + 8 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi \(m \in \mathbb{R}.\) Suy ra \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\).
Nhận xét: \({x_1},{x_2}\) khác \( - 1\) vì \({\left( { - 1} \right)^2} + m.\left( { - 1} \right) + m - 2 =  - 1 \ne 0\) nên biểu thức \(T\) luôn xác định.
Theo định lý Vi – et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)
Ta có: \({\left( {{x_1} + 4} \right)^4}.{\left( {{x_2} + 1} \right)^4} = {\left[ {{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^4} = {\left[ {m - 2 + \left( { - m} \right) + 1} \right]^4} = 1\)
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM  ta có:
\(T = \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}} + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^4}}}.\frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^4}}}}  \Rightarrow T \ge 2\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {{x_1} + 1} \right)^4} = {\left( {{x_2} + 1} \right)^4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + 1 = {x_2} + 1\\{x_1} + 1 =  - \left( {{x_2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{x_1} + {x_2} =  - 2\end{array} \right.\)
Vì \({x_1} \ne {x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} =  - 2 \Leftrightarrow  - m =  - 2 \Leftrightarrow m = 2(tm)\)
Vậy \(m = 2\).