Ta sẽ chứng minh \(k < A < k + 1\) với \(k \in \mathbb{Z}\).Giải chi tiết:Với mọi \(x\)dương và khác 1, ta có: \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\left( {\frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x }}{4}} \right) - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\\A = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - 2\sqrt x - 1}}{{x - 1}}.\frac{{1 - x}}{{4\sqrt 2 }} - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\\A = 1 - \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\end{array}\) Vì vậy, biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \) biểu thức \(B = \frac{3}{{x - 2\sqrt x + 9}}\) nhận giá trị nguyên Mặt khác, ta có \(x - 2\sqrt x + 9 = {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow 0 < B \le \frac{3}{8} < 1\)suy ra \(B\) không thể nhận giá trị nguyên, nên \(A\) không thể nhận giá trị nguyên.
