a) Giả sử 7n+13 và 2n+4 cùng chia hết cho số nguyên tố d.
Ta có: \(7(2n + 4) - 2(7n + 13) \vdots d \Rightarrow 2 \vdots d \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\)
Để \(\left( {7n + 13;2n + 4} \right) = 1\) thì \(d e 2\)
Ta có \(2n + 4\) luôn chia hết cho 2
\(7n + 13\) không chia hết cho 2 khi n chẵn.
Vậy với n chẵn thì 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau.
b) Giả sử 18n+3 và 21n+7 cùng chia hết cho số nguyên tố d
Ta có: \(6\left( {21n + 7} \right) - 7\left( {18n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 21 \vdots d \Rightarrow d \in \left\{ {3;7} \right\}.\)
Hiển nhiên \(d e 3\) vì \(21n + 7\) không chia hết cho 3.
Để \(\left( {18n + 3,21n + 7} \right) = 1\) thì \(d e 7\) tức là \(18n + 3\) không chia hết cho 7, suy ra \(18n + 3 - 21\) không chia hết cho 7, hay \(18\left( {n - 1} \right)\) không chia hết cho 7, suy ra: n-1 không chia hết cho 7.
Vậy \(n e 7k + 1\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)