Sử dụng định lí Pithagoras cho tam giác HBC ta được: \(HC = \sqrt 5 a\)
Gọi E là hình chiếu của C lên HD theo đề bài ta được \(CE = \frac{{\sqrt {10} a}}{2}\)
Sử dụng định lí Pithagoras cho tam giác HEC ta được:\(HE = \frac{{\sqrt {10} a}}{2}\)
⇒HEC là tam giác vuông cân.
Gọi F là hình chiếu của C lên AD dễ thấy ABCF là hình vuông.
HEBC là một tứ giác nội tiếp (tổng 2 góc đối là 1800) ⇒\(\widehat {EHC} = \widehat {EBC} = {45^0}\) (cùng chắn cung EC)
mà \(\widehat {FBC} = {45^0}\) và E nằm cùng phía với F nên B,E,F thẳng hàng.
Xét một tứ giác nội tiếp khác là EFDC ta có \(\widehat {CFE} = \widehat {E{\rm{D}}C} = {45^0}\) (cùng chắn cung EC)
Xét tam giác CHD có \(\widehat {H{\rm{D}}C} = \widehat {DHC} = {45^0}\) ⇒ HDC vuông cân tại C ⇒HC=CD
Xét hai tam giác vuông HBC và DFC có:
BC=CF
HC=CD
⇒\(\Delta HBC = \Delta DFC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)⇒HB=FD=a
⇒AD=AF+FD=2a+a=3a
Diện tích hình thang ABCD là \({S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{{BC + A{\rm{D}}}}{2}AB = \frac{{2a + 3{\rm{a}}}}{2}2{\rm{a}} = 5{{\rm{a}}^2}\) (đơn vị diện tích)
