Tìm số hạng chứa x4 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \(\left ( x^2-\frac{2}{x} \right )^n\)với x ≠ 0, biết rằng: \(C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15\) với n là số nguyên dương.
Ta có \(C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15\Leftrightarrow C_{n+1}^{2}=15\Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2}=15\) \(\Leftrightarrow n^2+n-30\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} n=5 \ (t/m)\\ n=-6 \ (loai) \end{matrix}\) Với n = 5 và \(xeq 0\) ta có \(\left ( x^2-\frac{2}{x} \right )^5=\sum_{k=0}^{5}C_{5}^{k}(x^2)^k(-\frac{2}{x})^{5-k}=\sum_{k=0}^{5}.C_{5}^{k}.x^{3k-5}.(-2)^{5-k}\)
Số hạng chứa x4 trong khai triển trên thỏa mãn \(3k-5=4\Leftrightarrow k=3\) suy ra số hạng chứa x4 trong khai triển trên là 40x4.