Cứu với mọi người! Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6$

hangnguyen050301

5 năm trước

Cứu với mọi người!

Cho các số a, b, c không âm sao cho tổng hai số bất kì đều dương. Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+bc+ca}}{a+b+c}\geq 6$

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 295 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Sandynguyen

Đặt $P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{9\sqrt{ab+b+ca}}{a+b+c}$
Giả sử $a\geq b\geq c$ , khi đó $\sqrt{\frac{ab}{a+c}}+\sqrt{\frac{ac}{a+b}}\geq \sqrt{\frac{b.b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c.c}{c+b}}=\sqrt{b+c}$
Suy ra $\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \sqrt{\frac{b+c}{a}}$
Đặt $t=b+c$ thì $P\geq \sqrt{\frac{a}{t}}+\sqrt{\frac{t}{a}}+\frac{9\sqrt{at}}{a+t}$
Ta có $\sqrt{\frac{a}{t}}+\sqrt{\frac{t}{a}}+\sqrt{\frac{9\sqrt{at}}{a+t}}=\frac{a+t}{\sqrt{at}}+\frac{9\sqrt{at}}{a+t}\geq 6$
(AM-GM). Do đó P $\geq$ 6 (đpcm).
Đẳng thức xảy ra khi a + t = $3\sqrt{at}$ và chẳng hạn một bộ (a, b, c) thỏa mãn là
$(a,b,c)=\left ( \frac{7+3\sqrt{5}}{2} ;1;0\right )$

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Giải phương trình: $x(4x^2+1)(x-3)\sqrt{5-2x}=0$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)\\ x^2+(y+1)^2=2(1+\frac{1-x^2}{y}) \end{matrix}\right.$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất $(-\sqrt{3};0)$ và đi qua điểm $M\left ( 1;\frac{4\sqrt{33}}{5} \right ),$ hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).

mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HA = HD, đường thẳng qua D vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt tại E(2;- 2)và F. Biết phương trình CF: x + 3y + 9 = 0, đường thẳng BC đi qua M (5;12) và điểm C có tung độ nhỏ hơn -3 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có AB = 3AC . Đường phân giác trong của góc BAC có phương trình: x - y = 0. Đường cao BH có phương trình: 3x + y -16 = 0. Hãy xác định tọa độ các điểm A , B , C , biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm M(4;10).

Giữa hai nông trường chăn nuôi bò sữa có một con đường quốc lộ. Người ta xây dựng một nhà máy sản xuất sữa bên cạnh đường quốc lộ và con đường nối hai nông trường tới nhà máy. Hỏi phải xây dựng con đường và địa điểm xây dựng nhà máy như thế nào cho chi phí vận chuyển nguyên liệu nhỏ nhất.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-y-1}+\sqrt{3y+1}=\sqrt{x}+\sqrt{x+2y}\\ x^2+x+3y+17-6\sqrt{x+7}-2x\sqrt{3y+1}=0 \end{matrix}\right.$

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (T) có phương trình $4x^2+4y^2-58x-5y+54=0$ . Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác với A, B) và trên cạnh AC lấy điểm N (N khác với A, C) sao cho BM CN . Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của BC và MN. Đường thẳng DE cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết $P\left ( \frac{3}{2};1 \right ),Q\left ( \frac{1}{2};1 \right )$ và tung độ của A là một số nguyên.

Help me!

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD biết BD có phương trình:2x - 3y + 4 = 0, điểm G thuộc cạnh BD sao cho BD =4BG. Gọi M là điểm đối xứng với A qua G. Hạ MH $\perp$ BC, MK $\perp$ CD. Biết H(10;6), K(13;4) và đỉnh B có tọa độ là các số tự nhiên chẵn. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Đường thẳng AC có phương trình y = 2x. H là hình chiếu của B lên AC, E là trung điểm của AH. I(-5;-5) là trực tâm của ∆BCE. Tìm tọa độ các đỉnh cảu hình chữ nhật ABCD biết hoành độ của C nhỏ hơn -3.