Giải hệ phương trình sau: \(\left\{\begin{matrix} y\sqrt{3-x}+\sqrt{x(3-y^2)}=(x+y^2-3)^2+3\\ 2\sqrt{x-1}=y^3+2y-1 \end{matrix}\right.\)

nhokmon2708

5 năm trước

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 358 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thyumc_pro

\(\left\{\begin{matrix} y\sqrt{3-x}+\sqrt{x(3-y^2)}=(x+y^2-3)^2+3 \ \ (1)\\ 2\sqrt{x-1}=y^3+2y-1 \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\end{matrix}\right.\)
Điều kiện \(1\leq x\leq 3;-\sqrt{3}\leq y\leq \sqrt{3} \ \ (*)\)

Từ (2) ta có: \(y^3+2y-1\geq 0\Leftrightarrow y^3+2y\geq 1\Rightarrow y^2+2y>0\Leftrightarrow y(y^2+2)>0 \Leftrightarrow y>0\)
Do đó ta có: \(1\leq x\leq 3,0< y\leq \sqrt{3}\) (**)
Theo Cauchy ta có: \(y\sqrt{3-x}\leq \frac{y^2+3-x}{2};\sqrt{x(3-y^2)}\leq \frac{x+3-y^2}{2}\)
\(\Rightarrow y\sqrt{3-x}+\sqrt{x(3-y^2)}\leq \frac{y^2+3-x}{2}+\frac{x+3-y^2}{2}= 3\Rightarrow VT(1)\leq 3\)
Mặt khác ta có: \(VT(1)=(x+y^2-3)^2+3\geq 3\)
Do đó (1) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\sqrt{3-x}\\ x=3-y^2\\ x+y^2-3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3-y^2\) với \(0\leq y\leq \sqrt{3}\)
Thay vào (2) ta được: \(2\sqrt{2-y^2}=y^3+2y-1\) với \(0\leq y\leq \sqrt{2} (**)\)

\(\Leftrightarrow y^3+2y-3+2(1-\sqrt{2-y^2})=0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)(y^2+y+3)+\frac{2(y^2-1)}{1+\sqrt{2-y^2}}=0\)
\(\Leftrightarrow (y-1)\left ( y^2+y+3+\frac{3(y+1)}{1+\sqrt{2-y^2}} \right )=0\)
\(\Leftrightarrow y=1(do \ y^2+y+3+\frac{3(y+1)}{1+\sqrt{2-y^2}}>0;\forall y\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]\)
\(\Rightarrow x=2\) thỏa mãn (*)(**)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x =2; y = 1

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình AB, AC lần lượt là x + 2y - 2 = 0, 2x + y + 1 = 0, điểm M(1; 2) thuộc đoạn thẳng BC. Tìm tọa độ điểm D sao cho tích vô hướng \(\overline{DB}.\overline{DC}\) có giá trị nhỏ nhất.

Help me!

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BI .Tìm tọa độ các điểm B,C,D biết A(1;2) đường thẳng MN có phương trình x - 2y - 2 = 0 và điểm M có tung độ âm

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có AB = AD < CD, điểm B(1; 2), đường thẳng BD có phương trình y = 2; biết rằng đường thẳng d: 7x - y - 25 = 0 lần lượt cắt các đoạn AD và CD theo thứ tự tại M và N sao cho BM vuông góc với BC và BN là tia phân giác của góc \(\widehat{MBC}\). Tìm tọa độ đỉnh D, biết hoành độ của D dương.

Giải hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy-2y^{2}+3y-1=\sqrt{y-1}-\sqrt{x}\\ 3\sqrt{6-y}+3\sqrt{2x+3y-7}=2x+7 \end{matrix}\right.\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho các số thực dương a,b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a}{a+2}+\frac{3b}{b+3}+\frac{c}{c+1}\leq \frac{6(a+b+c)}{a+b+c+6}\)

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Giải phương trình: \(x^2+9+log_2\frac{16x^2+96x+208}{\sqrt{12x+16}+\sqrt{45x+81}}=2\sqrt{3x+4}-6x+3\sqrt{5x+9}\)

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , trực tâm H (-3;2). Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Biết điểm A nằm trên đường thẳng d: x - 3y - 3 = 0, điểm F (-2;3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2.Tìm tọa độ điểm A .

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC, phương trình đường thẳng DM: x – y – 2 = 0, đỉnh C(3;-3), đỉnh A nằm trên đường thẳng (d): 3x + y – 2 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.

Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} y(x^2+2x+2)=x(y^2+6)\\ (y-1)(x^2+2x+7)=(x-1)(y^2+1) \end{matrix}\right.\)

Cứu với mọi người!

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(0; 8), M là trung điểm của cạnh BC. Gọi H là hình chiếu của M trên AC, \(E(\frac{15}{4};\frac{11}{4})\) là trung điểm của MH. Tìm toạ độ hai điểm B và C biết đường thẳng BH đi qua N(8; 6) và điểm H nằm trên đường thẳng x + 3y – 15 = 0.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến